ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$3 \sin x — 5 \sin \left(7x + \frac{\pi}{6}\right) = 4 \cos x$

Решить уравнение:

$3 \sin x — 5 \sin \left(7x + \frac{\pi}{6}\right) = 4 \cos x$;
$3 \sin x — 4 \cos x = 5 \sin \left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$;
$\sqrt{9 + 16} \sin \left(x — \arccos \frac{3}{\sqrt{9 + 16}}\right) = 5 \sin \left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$;
$5 \sin \left(x — \arccos \frac{3}{5}\right) = 5 \sin \left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$;
$\sin \left(7x + \frac{\pi}{6}\right) — \sin (x — t) = 0$;
$2 \sin \frac{(7x + \frac{\pi}{6}) — (x — t)}{2} \cdot \cos \frac{(7x + \frac{\pi}{6}) + (x — t)}{2} = 0$;
$\sin \left(3x + \frac{t}{2} + \frac{\pi}{12}\right) \cdot \cos \left(4x — \frac{t}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = 0$;

1) Первое уравнение:

$$\sin \left(3x + \frac{t}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = 0;$$ $$3x + \frac{t}{2} + \frac{\pi}{12} = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left(-\frac{t}{2} — \frac{\pi}{12} + \pi n\right) = -\frac{t}{6} — \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3};$$

2) Второе уравнение:

$$\cos \left(4x — \frac{t}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = 0;$$ $$4x — \frac{t}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \left(\frac{t}{2} — \frac{\pi}{12} + \pi n\right) = \frac{t}{8} + \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ:

$$-\frac{t}{6} — \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}; \quad \frac{t}{8} + \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, \text{ где } t = \arccos \frac{3}{5}.$$

Решить уравнение:

$$3 \sin x — 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right) = 4 \cos x$$

Шаг 1. Переносим все в одну сторону:

$$3 \sin x — 4 \cos x = 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 2. Преобразуем левую часть в одну функцию синуса

Выражение $3 \sin x — 4 \cos x$ имеет вид $a \sin x + b \cos x$.
Его можно свести к виду:

$$R \sin(x + \alpha), \text{ где } R = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Вычислим $R$:

$$R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Найдём угол:

$$\cos \alpha = \frac{a}{R} = \frac{3}{5}, \quad \sin \alpha = \frac{-4}{5} \Rightarrow \alpha = -\arccos \left(\frac{3}{5}\right)$$

(Знак минус у синуса означает, что угол в четвёртой четверти.)

Шаг 3. Подставим обратно:

$$3 \sin x — 4 \cos x = 5 \sin \left(x — \arccos \frac{3}{5} \right)$$

Теперь уравнение:

$$5 \sin \left(x — \arccos \frac{3}{5} \right) = 5 \sin \left(7x + \frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 4. Сократим на 5 (обе части ≠ 0):

$$\sin \left(x — \arccos \frac{3}{5} \right) = \sin \left(7x + \frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 5. Применим формулу:

Если $\sin A = \sin B$, то:

$$A = B + 2\pi n \quad \text{или} \quad A = \pi — B + 2\pi n$$

Обозначим $t = \arccos \frac{3}{5}$

Получаем:

$$x — t = 7x + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x — t = \pi — \left(7x + \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n$$

Шаг 6. Решаем первое уравнение:

$$x — t = 7x + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow -6x = \frac{\pi}{6} + t + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{1}{6} \left( \frac{\pi}{6} + t + 2\pi n \right)$$

Раскроем скобки:

$$x = -\frac{\pi}{36} — \frac{t}{6} — \frac{\pi n}{3} \Rightarrow x = -\frac{t}{6} — \frac{\pi}{36} + \frac{\pi (-n)}{3} \Rightarrow x = -\frac{t}{6} — \frac{\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 7. Решаем второе уравнение:

$$x-t=\pi -7x-\frac{\pi }{6}+2\pi n\Rightarrow x-t=\frac{5\pi }{6}-7x+2\pi n\Rightarrow 8x=t+\frac{5\pi }{6}+2\pi n\Rightarrow$$

$$x — t = \pi — 7x — \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x — t = \frac{5\pi}{6} — 7x + 2\pi n \Rightarrow 8x = t + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{1}{8} \left( t + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right)$$

Разбиваем:

$$x = \frac{t}{8} + \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{ x = -\frac{t}{6} — \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}; \quad x = \frac{t}{8} + \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, \quad \text{где } t = \arccos \frac{3}{5},\; n \in \mathbb{Z} }$$