ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения $\cos 4x + \frac{10 \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 3$, принадлежащие отрезку $[-2; 1,4]$.

Найти корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-2; 1,4]$:

$$\cos 4x + \frac{10 \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 3;$$ $$(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 5 \cdot \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 3;$$ $$(1 — \sin^2 2x) — \sin^2 2x + 5 \sin 2x — 3 = 0;$$ $$-2 \sin^2 2x + 5 \sin 2x — 2 = 0;$$ $$2 \sin^2 2x — 5 \sin 2x + 2 = 0;$$

Пусть $y = \sin 2x$, тогда:

$$2y^2 — 5y + 2 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9;$$ $$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$

Первое значение:

$$\sin 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе значение:

$$\sin 2x = 2 — \text{корней нет};$$

Значения на заданном отрезке:

$$x_1 = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{12};$$ $$x_2 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{12};$$ $$x_3 = (-1)^4 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12};$$

Ответ: $-\frac{7\pi}{12}; \frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12}$.

Найдите корни уравнения

$$\cos 4x + \frac{10 \cdot \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 3,$$

принадлежащие отрезку

$$[-2;\ 1{,}4].$$

Шаг 1: Упростим выражение

Вспомним стандартную тригонометрическую формулу:

$$\frac{2 \cdot \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \sin 2x$$

Следовательно:

$$\frac{10 \cdot \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 5 \cdot \frac{2 \cdot \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 5 \sin 2x$$

Также используем:

$$\cos 4x = \cos^2 2x — \sin^2 2x$$

(формула двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha$)

Подставим всё в уравнение:

$$\cos^2 2x — \sin^2 2x + 5 \sin 2x = 3$$

Шаг 2: Перепишем всё через $\sin 2x$

Заменим $\cos^2 2x$ на $1 — \sin^2 2x$:

$$(1 — \sin^2 2x — \sin^2 2x) + 5 \sin 2x = 3 \Rightarrow (1 — 2\sin^2 2x) + 5 \sin 2x = 3$$

Перенесём всё в левую часть:

$$-2 \sin^2 2x + 5 \sin 2x + 1 — 3 = 0 \Rightarrow -2 \sin^2 2x + 5 \sin 2x — 2 = 0$$

Умножим на $-1$ для удобства:

$$2 \sin^2 2x — 5 \sin 2x + 2 = 0$$

Шаг 3: Замена переменной

Пусть:

$$y = \sin 2x$$

Получим квадратное уравнение:

$$2y^2 — 5y + 2 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Корни:

$$y_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 3}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Шаг 4: Проверим допустимость корней

Поскольку $y = \sin 2x$, допустимы только значения в диапазоне:

$$y \in [-1; 1]$$

• $y = \frac{1}{2}$ — подходит
• $y = 2$ — не подходит, выходит за пределы области значений $\sin$

Шаг 5: Найдём все $x$, при которых $\sin 2x = \frac{1}{2}$

Общее решение уравнения:

$$\sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Здесь $\theta = 2x$, значит:

$$2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 6: Подставим разные значения $n$, чтобы попасть в отрезок $[-2; 1{,}4]$

Приближённые числовые значения:

$$\pi \approx 3{,}14,\quad \frac{\pi}{12} \approx 0{,}26,\quad \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$$

Для $n = -1$:

$$x = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{-\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{12} \approx -1{,}83 \in [-2;\ 1{,}4] \Rightarrow \boxed{x_1 = -\frac{7\pi}{12}}$$

Для $n = 0$:

$$x = (+1) \cdot \frac{\pi}{12} + 0 = \frac{\pi}{12} \approx 0{,}26 \in [-2;\ 1{,}4] \Rightarrow \boxed{x_2 = \frac{\pi}{12}}$$

Для $n = 1$:

$$x = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} \approx 1{,}31 \in [-2;\ 1{,}4] \Rightarrow \boxed{x_3 = \frac{5\pi}{12}}$$

Для $n = 2$:

$$x = (+1) \cdot \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{\pi}{12} + \pi \approx 0{,}26 + 3{,}14 = 3{,}4 \notin [-2;\ 1{,}4] \Rightarrow не подходит$$

Ответ:

$$\boxed{ x = -\frac{7\pi}{12};\quad \frac{\pi}{12};\quad \frac{5\pi}{12} }$$