ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней уравнения

$$(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 = 2 + 2 \cos \left( \frac{\pi}{6} — 2x \right)$$

удовлетворяют неравенству

$$\frac{x^2 — x — 12}{x^2 + x + 3} \leq 0?$$

Сколько корней уравнения удовлетворяет неравенству:

$$(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 = 2 + 2 \cos \left( \frac{\pi}{6} — 2x \right);$$ $$\left( \sqrt{1+3} \cos \left( 2x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+3}} \right) \right)^2 = 2 + 2 \cos \left( 2x — \frac{\pi}{6} \right);$$ $$4 \cos^2 \left( 2x — \frac{\pi}{6} \right) = 2 + 2 \cos \left( 2x — \frac{\pi}{6} \right);$$

Пусть $y = \cos \left( 2x — \frac{\pi}{6} \right)$, тогда:

$$4y^2 = 2 + 2y;$$ $$4y^2 — 2y — 2 = 0;$$ $$2y^2 — y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1-3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{1+3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Первое значение:

$$\cos \left( 2x — \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2};$$ $$2x — \frac{\pi}{6} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \pi n \pm \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi (3n \pm 1)}{3};$$

Второе значение:

$$\cos \left( 2x — \frac{\pi}{6} \right) = 1;$$ $$2x — \frac{\pi}{6} = 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi (3n)}{3};$$

Общее решение уравнения:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$

Решения неравенства:

$$\frac{x^2 — x — 12}{x^2 + x + 3} \leq 0;$$ $$(x^2 + x + 3 > 0, \text{так как } D < 0 \text{ и } a > 0);$$ $$x^2 — x — 12 \leq 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1-7}{2} = -3 \text{ и } x_2 = \frac{1+7}{2} = 4;$$ $$(x + 3)(x — 4) \leq 0;$$ $$-3 \leq x \leq 4;$$

Решения уравнения на данном отрезке:

$$-3 \leq \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \leq 4;$$ $$-36 \leq \pi + 4\pi n \leq 48;$$ $$-36 — \pi \leq 4\pi n \leq 48 — \pi;$$ $$-\frac{9}{\pi} — \frac{1}{4} \leq n \leq \frac{12}{\pi} — \frac{1}{4};$$ $$-3 \leq n \leq 3;$$

Ответ: 7.

Сколько корней уравнения

$$(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 = 2 + 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right)$$

удовлетворяет неравенству

$$\frac{x^2 — x — 12}{x^2 + x + 3} \leq 0$$

Шаг 1. Преобразуем левую часть уравнения

Рассмотрим:

$$(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2$$

Это выражение можно представить через тригонометрическую формулу приведения. Оно имеет вид:

$$(a \sin \theta + b \cos \theta)^2 = (R \cos(\theta — \alpha))^2 = R^2 \cos^2(\theta — \alpha)$$

Пусть $\theta = 2x$, $a = 1$, $b = \sqrt{3}$

Тогда:

$$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$ $$\cos \alpha = \frac{a}{R} = \frac{1}{2}, \quad \alpha = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Поэтому:

$$(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 = (2 \cos(2x — \frac{\pi}{3}))^2 = 4 \cos^2\left(2x — \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 2. Правая часть уравнения

$$2 + 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right) = 2 + 2 \cos\left( -\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) \right) = 2 + 2 \cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right)$$

(так как $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$)

Шаг 3. Уравнение принимает вид:

$$\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = \sqrt{1 + 3} \cdot \cos\left(2x — \arcsin \frac{1}{2} \right) = 2 \cos\left(2x — \frac{\pi}{6} \right)$$

Тогда:

$$(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 = \left(2 \cos\left(2x — \frac{\pi}{6} \right)\right)^2 = 4 \cos^2\left(2x — \frac{\pi}{6} \right)$$

Итак, уравнение:

$$4 \cos^2\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = 2 + 2 \cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 4. Вводим замену переменной

Пусть:

$$y = \cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Тогда:

$$4y^2 = 2 + 2y \Rightarrow 4y^2 — 2y — 2 = 0 \Rightarrow 2y^2 — y — 1 = 0$$

Шаг 5. Решаем квадратное уравнение

$$2y^2 — y — 1 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Шаг 6. Возвращаемся к переменной x

Рассматриваем два случая:

Случай 1:

$$\cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$

Решаем уравнение:

$$2x — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \Rightarrow 2x — \frac{\pi}{6} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Решаем:

$$2x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$$

Вычислим оба варианта:

• $x_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \pi n + \frac{\pi}{3}$
• $x_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \pi n — \frac{\pi}{3}$

То есть:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \pm \frac{\pi}{3}$$

Случай 2:

$$\cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = 1 \Rightarrow 2x — \frac{\pi}{6} = 2\pi n \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \pi n$$

И это тоже можно записать:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

Итак, общее решение:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 7. Решим неравенство

$$\frac{x^2 — x — 12}{x^2 + x + 3} \leq 0$$

Знаменатель: $x^2 + x + 3$

Дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 — 12 = -11 < 0 \Rightarrow x^2 + x + 3 > 0 \text{ всегда}$$

Остаётся решить:

$$x^2 — x — 12 \leq 0$$

Найдём корни:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 49 \Rightarrow x = \frac{1 \pm 7}{2} = -3, 4$$

Значит:

$$(x + 3)(x — 4) \leq 0 \Rightarrow x \in [-3, 4]$$

Шаг 8. Найдём, какие из решений уравнения попадают в этот отрезок

Общее решение:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Требуется:

$$-3 \leq \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \leq 4$$

Домножим всё на 12:

$$-36 \leq \pi + 4\pi n \leq 48 \Rightarrow -36 — \pi \leq 4\pi n \leq 48 — \pi \Rightarrow \frac{-36 — \pi}{4\pi} \leq n \leq \frac{48 — \pi}{4\pi}$$

Приблизительно:

$$\frac{-36 — 3.14}{12.56} \approx -3.12, \quad \frac{48 — 3.14}{12.56} \approx 3.57 \Rightarrow n \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$$

Всего: 7 значений

Ответ: 7.