ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\cos 2x-3\cos x+1=\frac{1}{(\mathrm{ctg}2x-\mathrm{ctg}x)\sin (x-\pi )}$$

Решить уравнение:

$$\cos 2x — 3 \cos x + 1 = \frac{1}{(\operatorname{ctg} 2x — \operatorname{ctg} x) \sin(x — \pi)};$$

Преобразуем знаменатель в правой части:

$$(\operatorname{ctg} 2x — \operatorname{ctg} x) \sin(x — \pi) = \left( \frac{\cos 2x}{\sin 2x} — \frac{\cos x}{\sin x} \right) \cdot (-\sin x) =$$ $$= -\frac{\cos 2x \cdot \sin x — \cos x \cdot \sin 2x}{\sin 2x \cdot \sin x} \cdot \sin x = -\frac{\sin(x — 2x)}{\sin 2x} =$$ $$= \frac{\sin x}{2 \sin x \cdot \cos x} = \frac{1}{2 \cos x}.$$

Решим уравнение:

$$\cos 2x — 3 \cos x + 1 = 2 \cos x;$$ $$(1 + \cos 2x) — 5 \cos x = 0;$$ $$2 \cos^2 x — 5 \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (2 \cos x — 5) = 0;$$ $$\cos x = 0 \quad \text{и} \quad \cos x = 2.5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0 \quad \text{и} \quad \cos 2x \neq 0;$$

Ответ: $\varnothing$.

Решить уравнение:

$$\cos 2x — 3 \cos x + 1 = \frac{1}{(\ctg 2x — \ctg x) \cdot \sin(x — \pi)}$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

Рассмотрим выражение в правой части:

$$(\ctg 2x — \ctg x) \cdot \sin(x — \pi)$$

1.1. Распишем котангенсы через синус и косинус:

$$\ctg 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x}, \quad \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Подставим:

$$\left( \frac{\cos 2x}{\sin 2x} — \frac{\cos x}{\sin x} \right) \cdot \sin(x — \pi)$$

1.2. Используем формулу:

$$\sin(x — \pi) = -\sin x$$

Значит:

$$\left( \frac{\cos 2x}{\sin 2x} — \frac{\cos x}{\sin x} \right) \cdot (-\sin x)$$

Шаг 2: Приведём выражение к общему знаменателю

Внутри скобки:

$$\frac{\cos 2x}{\sin 2x} — \frac{\cos x}{\sin x}$$

Общий знаменатель:

$$\frac{\cos 2x \cdot \sin x — \cos x \cdot \sin 2x}{\sin 2x \cdot \sin x}$$

Теперь домножим на $-\sin x$:

$$— \frac{\cos 2x \cdot \sin x — \cos x \cdot \sin 2x}{\sin 2x \cdot \sin x} \cdot \sin x$$

Сократим $\sin x$ в числителе и знаменателе:

$$— \frac{\cos 2x \cdot \sin x — \cos x \cdot \sin 2x}{\sin 2x}$$

Шаг 3: Преобразуем числитель

В числителе:

$$\cos 2x \cdot \sin x — \cos x \cdot \sin 2x$$

Используем формулу двойного угла для синуса:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Подставим:

$$= \cos 2x \cdot \sin x — \cos x \cdot (2 \sin x \cos x)$$ $$= \cos 2x \cdot \sin x — 2 \cos^2 x \cdot \sin x$$

Вынесем $\sin x$ за скобку:

$$= \sin x (\cos 2x — 2 \cos^2 x)$$

Теперь снова подставим в выражение:

$$— \frac{\sin x (\cos 2x — 2 \cos^2 x)}{\sin 2x}$$

Снова, $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, подставим:

$$= — \frac{\sin x (\cos 2x — 2 \cos^2 x)}{2 \sin x \cos x}$$

Сократим $\sin x$:

$$= — \frac{\cos 2x — 2 \cos^2 x}{2 \cos x}$$

Теперь рассмотрим отдельно выражение $\cos 2x$ — снова по формуле двойного угла:

$$\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1$$

Тогда:

$$\cos 2x — 2 \cos^2 x = (2 \cos^2 x — 1) — 2 \cos^2 x = -1$$

Значит, всё выражение:

$$— \frac{-1}{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cos x}$$

Шаг 4: Подставим это в исходное уравнение

Исходное уравнение:

$$\cos 2x — 3 \cos x + 1 = \frac{1}{(\ctg 2x — \ctg x) \cdot \sin(x — \pi)}$$

Теперь правая часть:

$$= \frac{1}{\frac{1}{2 \cos x}} = 2 \cos x$$

Получаем:

$$\cos 2x — 3 \cos x + 1 = 2 \cos x$$

Шаг 5: Решим уравнение

Перенесём всё в левую часть:

$$\cos 2x — 3 \cos x + 1 — 2 \cos x = 0$$

Соберём подобные:

$$\cos 2x — 5 \cos x + 1 = 0$$

Шаг 6: Подставим $\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1$

$$(2 \cos^2 x — 1) — 5 \cos x + 1 = 0$$ $$2 \cos^2 x — 5 \cos x = 0$$

Вынесем $\cos x$ за скобку:

$$\cos x (2 \cos x — 5) = 0$$

Шаг 7: Найдём корни

$$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 2 \cos x — 5 = 0$$

Первый корень:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второй «корень»:

$$2 \cos x = 5 \Rightarrow \cos x = \frac{5}{2}$$

Но это невозможно, так как:

$$-1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow \cos x = \frac{5}{2} \quad \text{не принадлежит ОДЗ}$$

Шаг 8: Проверим ОДЗ (область допустимых значений)

Исходное выражение содержит:

• $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} \Rightarrow \sin x \neq 0$
• $\ctg 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \Rightarrow \sin 2x \neq 0$
• знаменатель всей правой части содержит $\cos x$ внизу (см. преобразования), значит:

$$\cos x \neq 0$$

Таким образом, ОДЗ:

• $\sin x \neq 0$
• $\sin 2x \neq 0$
• $\cos x \neq 0$

Теперь проверим найденные корни:

$$\cos x = 0 \Rightarrow \text{НЕ принадлежит ОДЗ}$$

Итог: нет допустимых решений

Ответ:

$$\boxed{\varnothing}$$