ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\frac{{\cos }^{2}x\cdot (1+\mathrm{ctg}x)}{\sin x-\cos x}=3\cos x$$

Решить уравнение:

$$\frac{\cos^2 x \cdot (1 + \operatorname{ctg} x)}{\sin x — \cos x} = 3 \cos x;$$ $$\cos^2 x \cdot \left( \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} \right) — 3 \cos x \cdot (\sin x — \cos x) = 0;$$ $$\cos x \cdot \left( \frac{\cos x \cdot (\sin x + \cos x)}{\sin x} — 3 (\sin x — \cos x) \right) = 0;$$ $$\frac{\cos x \cdot \sin x + \cos^2 x}{\sin x} — 3 \sin x + 3 \cos x = 0;$$ $$\sin x \cdot \cos x + \cos^2 x — 3 \sin^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$3 \sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$3 \operatorname{tg}^2 x — 4 \operatorname{tg} x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$3y^2 — 4y — 1 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28 = 4 \cdot 7, \text{тогда:}$$ $$y = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3};$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3};$$ $$x = \operatorname{arctg} \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3} + \pi n;$$

Одно из решений:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x — \cos x \neq 0 \quad | : \cos x;$$ $$\operatorname{tg} x — 1 \neq 0;$$ $$\operatorname{tg} x \neq 1;$$ $$x \neq \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \operatorname{arctg} \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3} + \pi n.}$$

Решить уравнение:

$$\frac{\cos^2 x \cdot (1 + \ctg x)}{\sin x — \cos x} = 3 \cos x$$

Шаг 1: Упростим левую часть

Запишем:

$$\frac{\cos^2 x \cdot (1 + \ctg x)}{\sin x — \cos x}$$

Раскроем скобки:

Вспомним, что:

$$\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Тогда:

$$1 + \ctg x = 1 + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$$

Подставим в исходное выражение:

$$\frac{\cos^2 x \cdot \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}}{\sin x — \cos x} = \frac{\cos^2 x (\sin x + \cos x)}{\sin x (\sin x — \cos x)}$$

Теперь перенесём $3 \cos x$ в левую часть, приведём уравнение к виду:

$$\frac{\cos^2 x (\sin x + \cos x)}{\sin x (\sin x — \cos x)} — 3 \cos x = 0$$

Шаг 2: Приведём всё к общему знаменателю

Чтобы избавиться от дроби, перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\cos^2 x (\sin x + \cos x)}{\sin x (\sin x — \cos x)} — \frac{3 \cos x (\sin x — \cos x)}{\sin x (\sin x — \cos x)} = 0$$

Общий знаменатель: $\sin x (\sin x — \cos x)$

Числитель:

$$\cos^2 x (\sin x + \cos x) — 3 \cos x (\sin x — \cos x)$$

Раскроем обе части:

1. $\cos^2 x (\sin x + \cos x) = \cos^2 x \cdot \sin x + \cos^3 x$
2. $3 \cos x (\sin x — \cos x) = 3 \cos x \cdot \sin x — 3 \cos^2 x$

Теперь запишем числитель целиком:

$$\cos^2 x \cdot \sin x + \cos^3 x — 3 \cos x \cdot \sin x + 3 \cos^2 x$$

Сгруппируем:

• $(\cos^2 x \cdot \sin x — 3 \cos x \cdot \sin x)$
• $(\cos^3 x + 3 \cos^2 x)$

Итак:

$$\cos x \cdot \sin x (\cos x — 3) + \cos^2 x (\cos x + 3)$$

Шаг 3: Перепишем уравнение в свернутом виде

Всё это делится на $\sin x (\sin x — \cos x)$, и мы приравниваем к нулю, значит, можем умножить обе части уравнения на $\sin x (\sin x — \cos x)$ (при условии, что они не равны нулю — учтём позже в ОДЗ):

$$\cos^2 x \cdot (\sin x + \cos x) — 3 \cos x (\sin x — \cos x) = 0$$

Шаг 4: Вынесем $\cos x$ за скобку

$$\cos x \cdot \left( \frac{\cos x (\sin x + \cos x)}{\sin x} — 3(\sin x — \cos x) \right) = 0$$

Перепишем:

$$\cos x \cdot \left( \frac{\cos x \cdot \sin x + \cos^2 x}{\sin x} — 3 \sin x + 3 \cos x \right) = 0$$

Шаг 5: Объединим в одну дробь и избавимся от неё

Внутри скобки:

$$\frac{\cos x \cdot \sin x + \cos^2 x}{\sin x} — 3 \sin x + 3 \cos x = 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\cos x \cdot \sin x + \cos^2 x — 3 \sin^2 x + 3 \cos x \cdot \sin x}{\sin x} = 0$$

Соберём числитель:

$$\sin x \cdot \cos x + \cos^2 x — 3 \sin^2 x + 3 \cos x \cdot \sin x = \cos^2 x + 4 \sin x \cdot \cos x — 3 \sin^2 x$$

Шаг 6: Упростим выражение

У нас:

$$\cos x \cdot \left( \frac{\cos^2 x + 4 \sin x \cos x — 3 \sin^2 x}{\sin x} \right) = 0$$

Чтобы проще решить, домножим обе части на $\sin x$ и упростим:

$$\cos x \cdot \left( \cos^2 x + 4 \sin x \cos x — 3 \sin^2 x \right) = 0$$

Шаг 7: Получили уравнение

$$\cos x \cdot (\cos^2 x + 4 \sin x \cos x — 3 \sin^2 x) = 0$$

Первый множитель:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 8: Осталось решить квадратное уравнение через $\tg x$

Выразим всё через $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, поделим обе части на $\cos^2 x$:

$$\frac{3 \sin^2 x — 4 \sin x \cos x — \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \Rightarrow 3 \tg^2 x — 4 \tg x — 1 = 0$$

Шаг 9: Решим квадратное уравнение

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$3y^2 — 4y — 1 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$$

Корни:

$$y = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$$

Шаг 10: Найдём $x$

$$\tg x = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3} \Rightarrow x = \arctg\left( \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3} \right) + \pi n$$

Шаг 11: Учтём ОДЗ (область допустимых значений)

Исходное уравнение:

$$\frac{\cos^2 x \cdot (1 + \ctg x)}{\sin x — \cos x} = 3 \cos x$$

Ограничения:

• знаменатель: $\sin x — \cos x \ne 0 \Rightarrow \sin x \ne \cos x \Rightarrow \tg x \ne 1 \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{4} + \pi n$
• $\cos x \ne 0$, иначе правая часть не определена

Проверим:

• $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ — входит в ОДЗ, так как $\cos x = 0$ допустим в левой части (умножение, а не деление)
• Но в правой части уравнения есть $3 \cos x$, значит, $\cos x = 0$ → правая часть = 0 → корректно

Однако нужно убедиться, что при $\cos x = 0$, исходное уравнение не нарушается:

$$\cos x = 0 \Rightarrow \text{левая часть } = 0, \quad \text{правая часть } = 0 \quad \Rightarrow \text{Равенство выполняется}$$

Окончательный ответ:

$$\boxed{ x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \arctg\left( \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3} \right) + \pi n }$$