ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\frac{2-\sin x+\cos 2x}{6x^2-\pi x-{\pi }^2}=0;$$

б)

$$\frac{6{\sin }^{2}x-6\sin x+\cos 2x+1}{12x^2-8\pi x+{\pi }^2}=0$$

а)

$$\frac{2 — \sin x + \cos 2x}{6x^2 — \pi x — \pi^2} = 0;$$ $$2 — \sin x + \cos 2x = 0;$$ $$2 — \sin x + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0;$$ $$2 — \sin x + (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x = 0;$$ $$2 \sin^2 x + \sin x — 3 = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$2y^2 + y — 3 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2};$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Первое значение:

$$\sin x = -\frac{3}{2} — \text{корней нет;}$$

Второе значение:

$$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$6x^2 — \pi x — \pi^2 \neq 0;$$ $$D = \pi^2 + 4 \cdot 6 \cdot \pi^2 = \pi^2 + 24\pi^2 = 25\pi^2;$$ $$x_1 \neq \frac{\pi — 5\pi}{2 \cdot 6} = \frac{-4\pi}{12} = -\frac{\pi}{3};$$ $$x_2 \neq \frac{\pi + 5\pi}{2 \cdot 6} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \neq 0$.

б)

$$\frac{6\sin^2 x — 6\sin x + \cos 2x + 1}{12x^2 — 8\pi x + \pi^2} = 0;$$ $$6\sin^2 x — 6\sin x + \cos 2x + 1 = 0;$$ $$6\sin^2 x — 6\sin x + (\cos^2 x — \sin^2 x) + 1 = 0;$$ $$6\sin^2 x — 6\sin x + (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x + 1 = 0;$$ $$4\sin^2 x — 6\sin x + 2 = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$4y^2 — 6y + 2 = 0;$$ $$2y^2 — 3y + 1 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Первое значение:

$$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$12x^2 — 8\pi x + \pi^2 \neq 0;$$ $$D = (8\pi)^2 — 4 \cdot 12 \cdot \pi^2 = 64\pi^2 — 48\pi^2 = 16\pi^2, \text{тогда:}$$ $$x_1 \neq \frac{8\pi — 4\pi}{2 \cdot 12} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6};$$ $$x_2 \neq \frac{8\pi + 4\pi}{2 \cdot 12} = \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $x_1 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \, n \neq 0$;
$x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \neq 0$.

а)

$$\frac{2 — \sin x + \cos 2x}{6x^2 — \pi x — \pi^2} = 0$$

Шаг 1: Уравнение равной нулю дроби

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:

$$2 — \sin x + \cos 2x = 0 \quad \text{и} \quad 6x^2 — \pi x — \pi^2 \ne 0$$

Шаг 2: Раскроем $\cos 2x$

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = 1 — 2\sin^2 x \quad \text{или} \quad \cos 2x = 2\cos^2 x — 1$$

Выберем:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Заменим:

$$2 — \sin x + \cos^2 x — \sin^2 x = 0$$

Заменим $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, чтобы всё выразить через $\sin x$:

$$2 — \sin x + (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x = 0$$

Упростим:

$$(2 + 1) — \sin x — 2\sin^2 x = 0 \Rightarrow 3 — \sin x — 2\sin^2 x = 0$$

Приведём к стандартному виду:

$$2\sin^2 x + \sin x — 3 = 0$$

Шаг 3: Введём замену $y = \sin x$

$$2y^2 + y — 3 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \quad \text{(не подходит, т.к. } \sin x \in [-1, 1])$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \Rightarrow \sin x = 1$$

Шаг 4: Найдём $x$ при $\sin x = 1$

$$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5: Учтём ОДЗ (знаменатель не должен быть нулём)

$$6x^2 — \pi x — \pi^2 \ne 0$$

Решим уравнение:

$$6x^2 — \pi x — \pi^2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = \pi^2 + 4 \cdot 6 \cdot \pi^2 = \pi^2 + 24\pi^2 = 25\pi^2$$

Корни:

$$x = \frac{\pi \pm \sqrt{25\pi^2}}{2 \cdot 6} = \frac{\pi \pm 5\pi}{12}$$ $$x_1 = \frac{\pi — 5\pi}{12} = -\frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{3} \quad (\text{исключаем})$$ $$x_2 = \frac{\pi + 5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2} \quad (\text{исключаем})$$

То есть:

$$x \ne -\frac{\pi}{3}, \quad x \ne \frac{\pi}{2}$$

Шаг 6: Сравним с решением

Мы нашли:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

При $n = 0$ → $x = \frac{\pi}{2}$ — исключается из-за ОДЗ

Ответ (а):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \ne 0}$$

б)

$$\frac{6\sin^2 x — 6\sin x + \cos 2x + 1}{12x^2 — 8\pi x + \pi^2} = 0$$

Шаг 1: Числитель = 0

$$6\sin^2 x — 6\sin x + \cos 2x + 1 = 0$$

Заменим $\cos 2x = 1 — 2\sin^2 x$:

$$6\sin^2 x — 6\sin x + (1 — 2\sin^2 x) + 1 = 0$$ $$(6\sin^2 x — 2\sin^2 x) — 6\sin x + 2 = 0 \Rightarrow 4\sin^2 x — 6\sin x + 2 = 0$$

Шаг 2: Замена $y = \sin x$

$$4y^2 — 6y + 2 = 0 \Rightarrow 2y^2 — 3y + 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Корни:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$$

Шаг 3: Найдём $x$

При $\sin x = \frac{1}{2}$:

$$x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

При $\sin x = 1$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 4: Проверим ОДЗ

Знаменатель:

$$12x^2 — 8\pi x + \pi^2 \ne 0$$

Решим:

$$12x^2 — 8\pi x + \pi^2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (8\pi)^2 — 4 \cdot 12 \cdot \pi^2 = 64\pi^2 — 48\pi^2 = 16\pi^2$$

Корни:

$$x = \frac{8\pi \pm \sqrt{16\pi^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8\pi \pm 4\pi}{24}$$ $$x_1 = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}$$

Эти значения исключаются из ОДЗ:

$$x \ne \frac{\pi}{6}, \quad x \ne \frac{\pi}{2}$$

Шаг 5: Проверим совпадения

$\sin x = \frac{1}{2}$:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{6} \text{ при } n = 0$$

То есть:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad \text{при } n \ne 0$$

$\sin x = 1$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{2} \text{ при } n = 0 \Rightarrow n \ne 0$$

Ответ (б):

$$\boxed{ \begin{aligned} x_1 &= (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,\quad n \ne 0 \\ x_2 &= \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \ne 0 \end{aligned} }$$