ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}+{\sin }^{4}4x$$

Решить уравнение:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} + \sin^4 4x;$$ $$\sqrt{1+1} \sin \left( x + \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) — \sin^4 4x = \sqrt{2};$$ $$\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) — \sin^4 4x = \sqrt{2};$$

Выполняются следующие неравенства:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq 1;$$ $$\sin^4 4x \geq 0;$$ $$\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) — \sin^4 4x \leq \sqrt{2};$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1;$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin 4x = 0;$$ $$4x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{4} + 2\pi n}$.

Рассмотрим подробно уравнение:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} + \sin^4 4x$$

Шаг 1. Преобразуем левую часть

Левая часть — $\sin x + \cos x$

Используем известную формулу суммы синуса и косинуса:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Это стандартное преобразование:
$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \sin(x + \frac{\pi}{4})$,
так как $\sin x + \cos x = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x} = \sqrt{2 + 2 \sin x \cos x}$,
и оно достигает максимума при $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, тогда значение = $\sqrt{2}$

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} + \sin^4 4x$$

Шаг 2. Перенесём всё в одну часть

$$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin^4 4x = \sqrt{2}$$

Шаг 3. Оценим границы значений

Учитываем:

• $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in [-1, 1]$
• $\sin^4 4x \geq 0$

Значит:

• $\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \sqrt{2}$
• Тогда $\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin^4 4x \leq \sqrt{2}$

Чтобы равенство выполнилось:

$$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin^4 4x = \sqrt{2}$$

Единственный способ — если:

1. $\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \Rightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$
2. $\sin^4 4x = 0$

Шаг 4. Решим первое уравнение

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Когда синус равен 1?

$$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$:

$$x = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 5. Проверим второе условие — $\sin^4 4x = 0$

Чтобы:

$$\sin^4 4x = 0 \Rightarrow \sin 4x = 0 \Rightarrow 4x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 6. Найдём общее решение, удовлетворяющее обоим условиям

Итак, у нас:

• $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
• $x = \frac{\pi n}{4}$

Найдём пересечение этих решений — значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям.

Подставим $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ в $x = \frac{\pi m}{4}$:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi m}{4} \Rightarrow 1 + 8n = m$$

Значит, $m = 1 + 8n$, и такие значения существуют.

Это означает, что:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

удовлетворяет обоим условиям.

Шаг 7. Проверка (опционально)

Проверим при $x = \frac{\pi}{4}$:

• $\sin x + \cos x = \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
• $\sin 4x = \sin \pi = 0 \Rightarrow \sin^4 4x = 0$
• Правая часть: $\sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$

Уравнение выполнено.

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$