ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 \cos^2 5x + \cos 3x = 1$;

б) $\sin 5x + \sin x + 2 \cos^2 x = 1$

а) $2 \cos^2 5x + \cos 3x = 1$;

$2 \cdot \frac{1 + \cos 10x}{2} + \cos 3x = 1$;

$1 + \cos 10x + \cos 3x = 1$;

$2 \cos \frac{10x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{10x — 3x}{2} = 0$;

$2 \cos \frac{13x}{2} \cdot \cos \frac{7x}{2} = 0$;

Первое уравнение:
$\cos \frac{13x}{2} = 0$;

$\frac{13x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{13} + \frac{2\pi n}{13}$;

Второе уравнение:
$\cos \frac{7x}{2} = 0$;

$\frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}$;

Ответ: $\frac{\pi}{13} + \frac{2\pi n}{13};\ \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}$.

б) $\sin 5x + \sin x + 2 \cos^2 x = 1$;

$2 \sin \frac{5x + x}{2} \cdot \cos \frac{5x — x}{2} + 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = 1$;

$2 \sin 3x \cdot \cos 2x + \cos 2x + 1 = 1$;

$\cos 2x \cdot (2 \sin 3x + 1) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 2x = 0$;

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:
$2 \sin 3x + 1 = 0$;

$\sin 3x = -\frac{1}{2}$;

$3x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};\ (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$.

а) Решить уравнение:

$$2 \cos^2 5x + \cos 3x = 1$$

Шаг 1: Преобразуем $\cos^2 5x$ по формуле понижения степени:

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$ $$\Rightarrow \cos^2 5x = \frac{1 + \cos 10x}{2}$$ $$\Rightarrow 2 \cos^2 5x = 2 \cdot \frac{1 + \cos 10x}{2} = 1 + \cos 10x$$

Шаг 2: Подставим это в уравнение:

$$1 + \cos 10x + \cos 3x = 1$$

Шаг 3: Упростим уравнение:

$$\cos 10x + \cos 3x = 0$$

Шаг 4: Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$ $$\cos 10x + \cos 3x = 2 \cos \left( \frac{10x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{10x — 3x}{2} \right)$$ $$= 2 \cos \left( \frac{13x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{7x}{2} \right)$$

Шаг 5: Подставим это обратно:

$$2 \cos \left( \frac{13x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{7x}{2} \right) = 0$$

Шаг 6: Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один равен нулю:

1) Первый множитель:

$$\cos \left( \frac{13x}{2} \right) = 0$$ $$\text{Решение: } \frac{13x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{2}{13} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{13} + \frac{2\pi n}{13}$$

2) Второй множитель:

$$\cos \left( \frac{7x}{2} \right) = 0$$ $$\frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{2}{7} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}$$

Ответ а):

$$x = \frac{\pi}{13} + \frac{2\pi n}{13};\quad x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7},\quad n \in \mathbb{Z}$$

б) Решить уравнение:

$$\sin 5x + \sin x + 2 \cos^2 x = 1$$

Шаг 1: Преобразуем сумму синусов по формуле:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$ $$\sin 5x + \sin x = 2 \sin \left( \frac{5x + x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{5x — x}{2} \right) = 2 \sin 3x \cdot \cos 2x$$

Шаг 2: Преобразуем $2 \cos^2 x$ по формуле понижения степени:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \Rightarrow 2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$$

Шаг 3: Подставим всё в уравнение:

$$2 \sin 3x \cdot \cos 2x + 1 + \cos 2x = 1$$

Шаг 4: Переносим 1 в правую часть и упрощаем:

$$2 \sin 3x \cdot \cos 2x + \cos 2x = 0$$ $$\cos 2x (2 \sin 3x + 1) = 0$$

Решаем уравнение: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

1) Первый множитель:

$$\cos 2x = 0$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

2) Второй множитель:

$$2 \sin 3x + 1 = 0 \Rightarrow \sin 3x = -\frac{1}{2}$$

Найдём общее решение уравнения:

$$\sin \theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\quad \text{или}\quad \theta = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

Общее решение:

$$\theta = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Заменим $\theta = 3x$:

$$3x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ б):

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};\quad x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3},\quad n \in \mathbb{Z}$$