ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\sqrt{9-x^2}\cdot (\sin 2x-3\cos x)=0$$

Решить уравнение:

$$\sqrt{9-x^2}\cdot (\sin 2x-3\cos x)=0;$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{9-x^2}=0;$$$$9-x^2=0;$$$$x^2=9;$$$$x=\pm 3;$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x-3\cos x=0;$$$$2\sin x\cdot \cos x-3\cos x=0;$$$$\cos x\cdot (2\sin x-3)=0;$$$$\sin x=\frac{3}{2}\text{— корней нет};$$$$\cos x=0=>x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$9-x^2\ge 0;$$$$x^2-9\le 0;$$$$(x+3)(x-3)\le 0;$$$$-3\le x\le 3;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi }{2};\pm 3$.

$$\sqrt{9-x^2}\cdot (\sin 2x-3\cos x)=0.$$

Шаг 1. Область определения (ОДЗ)

В уравнении присутствует корень: $\sqrt{9-x^2}$. Чтобы выражение под корнем имело смысл (было определено в области действительных чисел), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$9-x^2\ge 0.$$

Решим это неравенство:

$$x^2\le 9,$$$$-3\le x\le 3.$$

ОДЗ: $x\in [-3,3]$ — только такие значения x имеют смысл в исходном уравнении.

Шаг 2. Исходное уравнение:

$$\sqrt{9-x^2}\cdot (\sin 2x-3\cos x)=0.$$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{9-x^2}=0\text{или}\sin 2x-3\cos x=0.$$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1:

$$\sqrt{9-x^2}=0.$$

Корень равен нулю, когда подкоренное выражение равно нулю:

$$9-x^2=0,$$$$x^2=9,$$$$x=\pm 3.$$

Теперь проверим, входят ли эти значения в ОДЗ:

• $x=3$: входит;
• $x=-3$: входит.

Значения $x=\pm 3$ — подходят.

Случай 2:

$$\sin 2x-3\cos x=0.$$

Используем формулу двойного угла:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x\mathrm{.}$$

Подставим:

$$2\sin x\cos x-3\cos x=0.$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x(2\sin x-3)=0.$$

Теперь рассмотрим каждую скобку по отдельности:

Подслучай 2.1:

$$\cos x=0.$$

Когда косинус равен нулю?

$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Теперь из этих значений нужно выбрать только те, которые удовлетворяют ОДЗ: $x\in [-3,3]$.

Посчитаем конкретные значения:

• При $n=-2$: $x=\frac{\pi }{2}-2\pi =-\frac{3\pi }{2}\approx -4.71$ — не подходит.
• При $n=-1$: $x=\frac{\pi }{2}-\pi =-\frac{\pi }{2}\approx -1.57$ — подходит.
• При $n=0$: $x=\frac{\pi }{2}\approx 1.57$ — подходит.
• При $n=1$: $x=\frac{3\pi }{2}\approx 4.71$ — не подходит.

Подходящие значения:

$$x=-\frac{\pi }{2},x=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Подслучай 2.2:

$$2\sin x-3=0\Rightarrow \sin x=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$

Но синус не может быть больше 1:

$$\sin x\le 1\text{всегда для вещественных }x\mathrm{.}$$

Значит, решений нет.

Шаг 3. Объединение всех решений

Итак, подходящие корни уравнения — это:

• Из первого случая: $x=-3$, $x=3$;
• Из второго случая: $x=-\frac{\pi }{2}$, $x=\frac{\pi }{2}$.

Ответ:

$$x=\pm 3;x=\pm \frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Или:

$$\boxed{{\displaystyle \pm \frac{\pi }{2};\pm 3}}\mathrm{.}$$