ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $\sqrt{25 — 4x^2} \cdot (3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0$;

б) $\sqrt{49 — 4x^2} \cdot \left( \sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} \right) = 0$

a) $\sqrt{25 — 4x^2} \cdot (3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0$;

Первое уравнение:

$$\sqrt{25 — 4x^2} = 0;$$ $$25 — 4x^2 = 0;$$ $$4x^2 = 25;$$ $$x^2 = \frac{25}{4};$$ $$x = \pm \frac{5}{2} = \pm 2,5;$$

Второе уравнение:

$$3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x = 0;$$ $$6 \sin \pi x \cdot \cos \pi x + 8 \sin \pi x = 0;$$ $$2 \sin \pi x \cdot (3 \cos \pi x + 4) = 0;$$ $$\cos \pi x = -\frac{4}{3} \quad \text{— корней нет};$$ $$\sin \pi x = 0;$$ $$\pi x = \pi n;$$ $$x = n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$25 — 4x^2 \geq 0;$$ $$4x^2 — 25 \leq 0;$$ $$(2x + 5)(2x — 5) \leq 0;$$ $$-2,5 \leq x \leq 2,5;$$

Ответ: $\pm 2,5; \pm 2; \pm 1; 0$.

б) $\sqrt{49 — 4x^2} \cdot \left( \sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} \right) = 0$;

Первое уравнение:

$$\sqrt{49 — 4x^2} = 0;$$ $$49 — 4x^2 = 0;$$ $$4x^2 = 49;$$ $$x^2 = \frac{49}{4};$$ $$x = \pm \frac{7}{2} = \pm 3,5;$$

Второе уравнение:

$$\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0;$$ $$2 \sin \frac{\pi x}{2} \cdot \cos \frac{\pi x}{2} + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0;$$ $$\cos \frac{\pi x}{2} \cdot \left( 2 \sin \frac{\pi x}{2} + 3 \right) = 0;$$ $$\sin \frac{\pi x}{2} = -\frac{3}{2} \quad \text{— корней нет};$$ $$\cos \frac{\pi x}{2} = 0;$$ $$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = 1 + 2n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$49 — 4x^2 \geq 0;$$ $$4x^2 — 49 \leq 0;$$ $$(2x + 7)(2x — 7) \leq 0;$$ $$-3,5 \leq x \leq 3,5;$$

Ответ: $\pm 3,5; \pm 3; \pm 1$.

a)

Решить уравнение:

$$\sqrt{25 — 4x^2} \cdot \left(3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x\right) = 0.$$

Шаг 1: Область допустимых значений (ОДЗ)

В уравнении есть корень:

$$\sqrt{25 — 4x^2}$$

Чтобы он был определён (то есть результат — действительное число), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$25 — 4x^2 \geq 0.$$

Решим это неравенство:

$$4x^2 \leq 25,$$ $$x^2 \leq \frac{25}{4},$$ $$|x| \leq \frac{5}{2},$$ $$-2.5 \leq x \leq 2.5.$$

ОДЗ: $x \in [-2.5, 2.5]$.

Шаг 2: Структура уравнения

Произведение двух выражений равно нулю:

$$\sqrt{25 — 4x^2} \cdot (3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

1. $\sqrt{25 — 4x^2} = 0$
2. $3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x = 0$

Шаг 3: Первый множитель равен нулю

$$\sqrt{25 — 4x^2} = 0 \Rightarrow 25 — 4x^2 = 0.$$

Решим:

$$4x^2 = 25 \Rightarrow x^2 = \frac{25}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{5}{2} = \pm 2.5.$$

Проверка: $x = \pm 2.5$ входят в ОДЗ

Шаг 4: Второй множитель равен нулю

$$3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x = 0.$$

Используем формулу:

$$\sin 2\pi x = 2 \sin \pi x \cdot \cos \pi x.$$

Подставим:

$$3 \cdot 2 \sin \pi x \cos \pi x + 8 \sin \pi x = 0,$$ $$6 \sin \pi x \cdot \cos \pi x + 8 \sin \pi x = 0.$$

Вынесем $\sin \pi x$ за скобку:

$$\sin \pi x (6 \cos \pi x + 8) = 0.$$

Теперь два случая:

Случай 1: $\sin \pi x = 0$

$$\sin \pi x = 0 \Rightarrow \pi x = \pi n \Rightarrow x = n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

То есть, $x$ — любое целое число.
Сравниваем с ОДЗ:

$$x \in [-2.5, 2.5] \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}.$$

Случай 2: $6 \cos \pi x + 8 = 0$

$$\cos \pi x = -\frac{4}{3}$$

Но это невозможно, так как:

$$\cos \theta \in [-1, 1],\quad \forall \theta \in \mathbb{R} \Rightarrow \cos \pi x = -\frac{4}{3} \quad \text{— нет решений}.$$

Шаг 5: Собираем все решения

• Из первого множителя: $x = \pm 2.5$
• Из второго множителя: $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

Объединяем:

$$x = \pm 2.5;\ \pm 2;\ \pm 1;\ 0.$$

Ответ для пункта a):

$$\boxed{x = \pm 2.5;\ \pm 2;\ \pm 1;\ 0}$$

б)

Решить уравнение:

$$\sqrt{49 — 4x^2} \cdot \left( \sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} \right) = 0.$$

Шаг 1: ОДЗ

Для корня:

$$49 — 4x^2 \geq 0 \Rightarrow 4x^2 \leq 49 \Rightarrow x^2 \leq \frac{49}{4} \Rightarrow |x| \leq \frac{7}{2} = 3.5 \Rightarrow x \in [-3.5,\ 3.5].$$

Шаг 2: Структура уравнения

$$\sqrt{49 — 4x^2} \cdot \left( \sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} \right) = 0.$$

Рассматриваем оба множителя:

Шаг 3: Первый множитель равен нулю

$$\sqrt{49 — 4x^2} = 0 \Rightarrow 49 — 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{49}{4} = 12.25 \Rightarrow x = \pm \frac{7}{2} = \pm 3.5.$$

Проверка: $x = \pm 3.5 \in [-3.5, 3.5]$

Шаг 4: Второй множитель равен нулю

$$\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0.$$

Используем:

$$\sin \pi x = 2 \sin \frac{\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2}.$$

Подставим:

$$2 \sin \frac{\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0.$$

Вынесем $\cos \frac{\pi x}{2}$:

$$\cos \frac{\pi x}{2} \left(2 \sin \frac{\pi x}{2} + 3\right) = 0.$$

Рассматриваем два случая:

Случай 1: $\cos \frac{\pi x}{2} = 0$

$$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = 1 + 2n.$$

$x$ — нечётные целые.
Проверяем с ОДЗ: $x \in [-3.5, 3.5]$
Подходящие значения:

$$x = -3,\ -1,\ 1,\ 3.$$

Случай 2: $\sin \frac{\pi x}{2} = -\frac{3}{2}$

Такого быть не может: $\sin \theta \in [-1, 1]$
Значит, корней нет.

Шаг 5: Объединяем все решения

• Из первого множителя: $x = \pm 3.5$
• Из второго: $x = \pm 3,\ \pm 1$

Ответ для пункта б):

$$\boxed{x = \pm 3.5;\ \pm 3;\ \pm 1}$$