ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $(\operatorname{ctg} \frac{x}{2} — \frac{2}{3} \sin x) \cdot \sqrt{4x — x^2 + 5} = 0$;

б) $(2 \sin 2x — \operatorname{tg} x) \cdot \sqrt{2 — x — x^2} = 0$

а) $(\operatorname{ctg} \frac{x}{2} — \frac{2}{3} \sin x) \cdot \sqrt{4x — x^2 + 5} = 0$;

Выведем равенство:

$$\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{1 + \cos x}}{\sqrt{1 — \cos x}} = \frac{\sqrt{(1 + \cos x)^2}}{\sqrt{(1 + \cos x)(1 — \cos x)}};$$ $$\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{\sqrt{1 — \cos^2 x}} = \frac{1 + \cos x}{\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{1 + \cos x}{\sin x};$$

Первое уравнение:

$$\operatorname{ctg} \frac{x}{2} — \frac{2}{3} \sin x = 0;$$ $$\frac{1 + \cos x}{\sin x} — \frac{2}{3} \sin x = 0;$$ $$3(1 + \cos x) — 2 \sin^2 x = 0;$$ $$3 + 3 \cos x — (2 — 2 \cos^2 x) = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$3 + 3y — (2 — 2y^2) = 0;$$ $$2y^2 + 3y + 1 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1;$$ $$y_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$ $$\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n;$$ $$\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sqrt{4x — x^2 + 5} = 0;$$ $$x^2 — 4x — 5 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$4x — x^2 + 5 \geq 0;$$ $$x^2 — 4x — 5 \leq 0;$$ $$(x + 1)(x — 5) \leq 0;$$ $$-1 \leq x \leq 5;$$

Ответ: $-1; \frac{2\pi}{3}; \pi; \frac{4\pi}{3}; 5.$

б) $(2 \sin 2x — \operatorname{tg} x) \cdot \sqrt{2 — x — x^2} = 0$;

Выведем равенство:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{1 — \cos 2x}}{\sqrt{1 + \cos 2x}} = \frac{\sqrt{(1 — \cos 2x)^2}}{\sqrt{(1 + \cos 2x)(1 — \cos 2x)}};$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{1 — \cos 2x}{\sqrt{1 — \cos^2 2x}} = \frac{1 — \cos 2x}{\sqrt{\sin^2 2x}} = \frac{1 — \cos 2x}{\sin 2x};$$

Первое уравнение:

$$2 \sin 2x — \operatorname{tg} x = 0;$$ $$2 \sin 2x — \frac{1 — \cos 2x}{\sin 2x} = 0;$$ $$2 \sin^2 2x — 1 + \cos 2x = 0;$$ $$(2 — 2 \cos^2 2x) — 1 + \cos 2x = 0;$$

Пусть $y = \cos 2x$, тогда:

$$(2 — 2y^2) — 1 + y = 0;$$ $$2y^2 — y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$\cos 2x = 1 \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sqrt{2 — x — x^2} = 0;$$ $$x^2 + x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2 — x — x^2 \geq 0;$$ $$x^2 + x — 2 \leq 0;$$ $$(x + 2)(x — 1) \leq 0;$$ $$-2 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $-2;-\frac{\pi }{3};0;1.$

а)

Решить уравнение:

$$\left( \operatorname{ctg} \frac{x}{2} — \frac{2}{3} \sin x \right) \cdot \sqrt{4x — x^2 + 5} = 0$$

Разделим на 2 подзадачи:

Произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\operatorname{ctg} \frac{x}{2} — \frac{2}{3} \sin x = 0$
2. $\sqrt{4x — x^2 + 5} = 0$

Также отдельно проверим область определения.

Часть 1: $\operatorname{ctg} \frac{x}{2} — \frac{2}{3} \sin x = 0$

Шаг 1.1. Преобразуем $\operatorname{ctg} \frac{x}{2}$

Используем формулу половинного угла:

$$\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$$

Шаг 1.2. Подставим:

$$\frac{1 + \cos x}{\sin x} — \frac{2}{3} \sin x = 0$$

Шаг 1.3. Приведем к общему знаменателю (домножим вторую дробь на $\sin x$):

$$\frac{1 + \cos x}{\sin x} — \frac{2}{3} \sin x = \frac{1 + \cos x — \frac{2}{3} \sin^2 x}{\sin x} = 0$$

Это дробь равна 0 тогда, когда числитель равен 0:

$$1 + \cos x — \frac{2}{3} \sin^2 x = 0$$

Шаг 1.4. Умножим обе части на 3:

$$3(1 + \cos x) — 2 \sin^2 x = 0$$

Шаг 1.5. Раскроем скобки:

$$3 + 3 \cos x — 2 \sin^2 x = 0$$

Шаг 1.6. Выразим $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$:

$$3 + 3 \cos x — 2(1 — \cos^2 x) = 0$$ $$3 + 3 \cos x — 2 + 2 \cos^2 x = 0$$ $$1 + 3 \cos x + 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 1.7. Обозначим $y = \cos x$, получаем квадратное уравнение:

$$2y^2 + 3y + 1 = 0$$

Шаг 1.8. Решим:

Дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-3 — 1}{4} = -1, \quad y_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 1.9. Найдем $x$:

• $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$
• $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Часть 2: $\sqrt{4x — x^2 + 5} = 0$

Шаг 2.1. Переносим подкоренное выражение:

$$4x — x^2 + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 4x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 4x — 5 = 0$$

Шаг 2.2. Найдем корни:

$$D = 16 + 20 = 36 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$ $$x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

Шаг 2.3. Условие существования корня:

Подкоренное выражение должно быть ≥ 0:

$$4x — x^2 + 5 \geq 0 \Rightarrow x^2 — 4x — 5 \leq 0 \Rightarrow (x + 1)(x — 5) \leq 0 \Rightarrow x \in [-1, 5]$$

Вывод (а):

Оставим только те корни, которые лежат в области определения:

• $x = -1$
• $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$
• $x = \pi \approx 3.14$
• $x = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$
• $x = 5$

Ответ (а):

$$x = -1,\ \frac{2\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3},\ 5$$

б)

Решить уравнение:

$$(2 \sin 2x — \operatorname{tg} x) \cdot \sqrt{2 — x — x^2} = 0$$

Часть 1: $2 \sin 2x — \operatorname{tg} x = 0$

Шаг 1.1. Выразим $\operatorname{tg} x$:

Используем формулу:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1 — \cos 2x}{\sin 2x}$$

Шаг 1.2. Подставим в уравнение:

$$2 \sin 2x — \frac{1 — \cos 2x}{\sin 2x} = 0$$

Шаг 1.3. Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{2 \sin^2 2x — (1 — \cos 2x)}{\sin 2x} = 0 \Rightarrow 2 \sin^2 2x + \cos 2x — 1 = 0$$

Шаг 1.4. Подставим $\sin^2 2x = 1 — \cos^2 2x$:

$$2(1 — \cos^2 2x) + \cos 2x — 1 = 0$$ $$2 — 2 \cos^2 2x + \cos 2x — 1 = 0 \Rightarrow 1 + \cos 2x — 2 \cos^2 2x = 0$$

Шаг 1.5. Обозначим $y = \cos 2x$:

$$2y^2 — y — 1 = 0$$

Шаг 1.6. Решим:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$$

Шаг 1.7. Найдем $x$:

• $\cos 2x = -\frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$
• $\cos 2x = 1 \Rightarrow 2x = 2\pi n \Rightarrow x = \pi n$

Часть 2: $\sqrt{2 — x — x^2} = 0$

Шаг 2.1. Решим:

$$2 — x — x^2 = 0 \Rightarrow x^2 + x — 2 = 0$$ $$D = 1 + 8 = 9 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ $$x_1 = -2, \quad x_2 = 1$$

Шаг 2.2. Область определения:

$$2 — x — x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + x — 2 \leq 0 \Rightarrow (x + 2)(x — 1) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2, 1]$$

Вывод (б):

Из уравнения $2 \sin 2x = \operatorname{tg} x$ мы получили:

• $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$
• $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$
• $x = \pi n$

Проверим попадание в $[-2, 1]$:

• $x = -\frac{\pi}{3} \approx -1.05$
• $x = 0$
• $x = -2$
• $x = 1$

Ответ (б):

$$x = -2,\ -\frac{\pi}{3},\ 0,\ 1$$