ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\sqrt{\cos 2x}+\sqrt{1+\sin 2x}=2\sqrt{\sin x+\cos x}$$

Решить уравнение:

$$\sqrt{\cos 2x} + \sqrt{1 + \sin 2x} = 2\sqrt{\sin x + \cos x};$$ $$\sqrt{\cos^2 x — \sin^2 x} + \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x} = 2\sqrt{\sin x + \cos x};$$ $$\sqrt{(\cos x — \sin x)(\sin x + \cos x)} + \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = 2\sqrt{\sin x + \cos x};$$ $$\sqrt{\cos x — \sin x} + \sqrt{\sin x + \cos x} = 2;$$ $$(\cos x — \sin x) + 2\sqrt{(\cos x — \sin x)(\sin x + \cos x)} + (\sin x + \cos x) = 4;$$ $$2 \cos x + 2\sqrt{\cos^2 x — \sin^2 x} = 4;$$ $$\cos x + \sqrt{\cos^2 x — (1 — \cos^2 x)} = 2;$$ $$\sqrt{2 \cos^2 x — 1} = 2 — \cos x;$$ $$2 \cos^2 x — 1 = 4 — 4 \cos x + \cos^2 x;$$ $$\cos^2 x + 4 \cos x — 5 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$y^2 + 4y — 5 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\cos x = -5 — \text{корней нет};$$

Второе значение:

$$\cos x = 1;$$ $$x = 2\pi n;$$

Одно из решений:

$$\sqrt{\sin x + \cos x} = 0;$$ $$\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x + 1 = 0;$$ $$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

$$\sqrt{\cos 2x} + \sqrt{1 + \sin 2x} = 2\sqrt{\sin x + \cos x}$$

Шаг 1. Преобразование левой части уравнения

Напомним, что:

• $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

Тогда:

$$\sqrt{\cos 2x} + \sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{\cos^2 x — \sin^2 x} + \sqrt{1 + 2\sin x \cos x}$$

Шаг 2. Преобразование подкоренных выражений

Второе слагаемое:

$$1 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$$

Поэтому:

$$\sqrt{1 + 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|$$

Первое слагаемое:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = (\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x)$$

Поэтому:

$$\sqrt{\cos^2 x — \sin^2 x} = \sqrt{(\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x)}$$

Шаг 3. Полное преобразование уравнения

Получаем:

$$\sqrt{(\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x)} + |\sin x + \cos x| = 2\sqrt{\sin x + \cos x}$$

Теперь рассмотрим случай, когда $\sin x + \cos x \geq 0$, чтобы упростить модуль:

$$|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x$$

Уравнение становится:

$$\sqrt{(\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x)} + \sin x + \cos x = 2\sqrt{\sin x + \cos x}$$

Шаг 4. Обозначим:

Пусть:

$$a = \cos x + \sin x, \quad b = \cos x — \sin x$$

Тогда:

$$\sqrt{ab} + a = 2\sqrt{a}$$

Шаг 5. Подстановка и решение

Имеем:

$$\sqrt{ab} + a = 2\sqrt{a}$$

Вынесем $\sqrt{a}$:

$$\sqrt{a} \left( \sqrt{b} + \sqrt{a} \right) = 2\sqrt{a} \Rightarrow \sqrt{b} + \sqrt{a} = 2$$

Шаг 6. Перепишем как:

$$\sqrt{\cos x — \sin x} + \sqrt{\cos x + \sin x} = 2$$

Шаг 7. Обозначим:

Пусть:

$$u = \sqrt{\cos x — \sin x}, \quad v = \sqrt{\cos x + \sin x} \Rightarrow u + v = 2$$

Рассмотрим:

$$u^2 = \cos x — \sin x, \quad v^2 = \cos x + \sin x$$

Сложим их:

$$u^2 + v^2 = 2\cos x$$

Теперь выразим $u^2 + v^2$ через $u + v$ и $uv$:

$$(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2 = 4 \Rightarrow u^2 + v^2 = 4 — 2uv$$

Значит:

$$2\cos x = 4 — 2uv \Rightarrow \cos x + uv = 2$$

Шаг 8. Приравняем квадрат обеих частей

Вернёмся к одному из преобразованных уравнений:

$$\sqrt{2\cos^2 x — 1} = 2 — \cos x$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2\cos^2 x — 1 = (2 — \cos x)^2 = 4 — 4\cos x + \cos^2 x$$

Переносим всё в одну сторону:

$$2\cos^2 x — 1 — 4 + 4\cos x — \cos^2 x = 0$$ $$\cos^2 x + 4\cos x — 5 = 0$$

Шаг 9. Решим квадратное уравнение

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$y^2 + 4y — 5 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 36 \Rightarrow y_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$

Шаг 10. Проверка решений

1) $\cos x = -5$:

Нет решений, т.к. $|\cos x| \leq 1$

2) $\cos x = 1$:

Тогда $x = 2\pi n$

Проверим значение $\sin x + \cos x$ при $x = 2\pi n$:

$$\sin x = 0, \cos x = 1 \Rightarrow \sin x + \cos x = 1 \Rightarrow \sqrt{\sin x + \cos x} = \sqrt{1} = 1$$

Подставим в исходное уравнение:

$$\sqrt{\cos 2x} + \sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2 = 2 \cdot \sqrt{1} \Rightarrow \text{всё верно}$$

Альтернативное решение:

Рассмотрим $\sin x + \cos x = 0$

Поделим на $\cos x$ (если $\cos x \ne 0$):

$$\tg x + 1 = 0 \Rightarrow \tg x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Это даёт:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \quad (\text{через период тангенса})$$

Ответ:

$$\boxed{x = 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$