ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sqrt{\sin 7x — \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$;

б) $\sqrt{\cos 5x + \cos x — \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$

а) $\sqrt{\sin 7x — \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$;

$$\sin 7x — \sin 5x = \sin x;$$ $$2 \sin \frac{7x — 5x}{2} \cdot \cos \frac{7x + 5x}{2} = \sin x;$$ $$2 \sin x \cdot \cos 6x = \sin x;$$ $$2 \sin x \cdot \cos 6x — \sin x = 0;$$ $$\sin x \cdot (2 \cos 6x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 6x — 1 = 0;$$ $$\cos 6x = \frac{1}{2};$$ $$6x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3};$$

Разложим корни второго уравнения:

$$x_1 = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi(3k + 3)}{3} = \frac{17\pi}{18} + \pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi(3k)}{3} = \frac{\pi}{18} + \pi k;$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi(3k + 1)}{3} = \frac{5\pi}{18} + \pi k;$$ $$x_4 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi(3k + 1)}{3} = \frac{7\pi}{18} + \pi k;$$ $$x_5 = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi(3k + 2)}{3} = \frac{11\pi}{18} + \pi k;$$ $$x_6 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi(3k + 2)}{3} = \frac{13\pi}{18} + \pi k;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \geq 0;$$ $$x_7 = \pi n;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{18} + 2\pi n \text{ и } x_1 = \frac{17\pi}{18} + 2\pi n;$$ $$x_3 = \frac{5\pi}{18} + 2\pi n \text{ и } x_6 = \frac{13\pi}{18} + 2\pi n;$$ $$x_4 = \frac{7\pi}{18} + 2\pi n \text{ и } x_5 = \frac{11\pi}{18} + 2\pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \pi n$; $(-1)^n \cdot \frac{5\pi}{18} + \pi n$; $(-1)^n \cdot \frac{7\pi}{18} + \pi n$; $\pi n$.

б) $\sqrt{\cos 5x + \cos x — \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$;

$$\cos 5x + \cos x — \sin 5x = \sin x;$$ $$\cos 5x + \cos x = \sin 5x + \sin x;$$ $$2 \cos \frac{5x + x}{2} \cdot \cos \frac{5x — x}{2} = 2 \sin \frac{5x + x}{2} \cdot \cos \frac{5x — x}{2};$$ $$\cos 3x \cdot \cos 2x = \sin 3x \cdot \cos 2x;$$ $$\cos 2x \cdot (\sin 3x — \cos 3x) = 0;$$ $$\cos 2x \cdot \sqrt{1 + 1} \sin \left(3x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + 1}}\right) = 0;$$ $$\sqrt{2} \cos 2x \cdot \sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = 0;$$ $$3x — \frac{\pi}{4} = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$

Разложим корни первого уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(2k)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(2k + 1)}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k;$$

Разложим корни второго уравнения:

$$x_3 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(3k)}{3} = \frac{\pi}{12} + \pi k;$$ $$x_4 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(3k + 1)}{3} = \frac{5\pi}{12} + \pi k;$$ $$x_5 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(3k + 2)}{3} = \frac{3\pi}{4} + \pi k;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \geq 0;$$ $$x_3 = \frac{\pi}{12} + 2\pi n;$$ $$x_4 = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \text{ и } x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$; $\frac{\pi}{12} + 2\pi n$; $\frac{5\pi}{12} + 2\pi n$.

а) $\sqrt{\sin 7x — \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$

Шаг 1. ОДЗ (область допустимых значений)

Чтобы оба корня были определены и равны, нужно:

$$\sin 7x — \sin 5x \geq 0,\quad \sin x \geq 0$$

(т.к. подкоренные выражения обязаны быть ≥ 0, иначе выражения не определены).

Шаг 2. Возведение обеих частей в квадрат

Так как выражения под корнями неотрицательны (по ОДЗ), возводим обе части:

$$\sin 7x — \sin 5x = \sin x$$

Шаг 3. Применим формулу разности синусов

$$\sin A — \sin B = 2 \sin\left(\frac{A — B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right)$$

Подставим $A = 7x$, $B = 5x$:

$$\sin 7x — \sin 5x = 2 \sin(x) \cdot \cos(6x)$$

Тогда:

$$2 \sin x \cdot \cos 6x = \sin x$$

Шаг 4. Переносим всё в одну сторону

$$2 \sin x \cdot \cos 6x — \sin x = 0 \Rightarrow \sin x (2 \cos 6x — 1) = 0$$

Шаг 5. Решим уравнение по множеству решений

1) $\sin x = 0$

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) $2 \cos 6x — 1 = 0 \Rightarrow \cos 6x = \frac{1}{2}$

Решаем:

$$6x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$$

Шаг 6. Разложим корни с положительными углами

Пусть $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$. Перепишем в виде:

• $x_1 = -\frac{\pi}{18} + \pi k = \frac{17\pi}{18} + \pi k$
• $x_2 = \frac{\pi}{18} + \pi k$
• $x_3 = -\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} + \pi k = \frac{5\pi}{18} + \pi k$
• $x_4 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{7\pi}{18} + \pi k$
• $x_5 = -\frac{\pi}{18} + \frac{5\pi}{3} + \pi k = \frac{11\pi}{18} + \pi k$
• $x_6 = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} + \pi k = \frac{13\pi}{18} + \pi k$

Шаг 7. Применим ОДЗ $\sin x \geq 0$

$$\sin x \geq 0 \Rightarrow x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$$

Из всех корней выше оставляем только те, что лежат в этом интервале:

• $x = \pi n$
• $x = \frac{\pi}{18} + 2\pi n$
• $x = \frac{5\pi}{18} + 2\pi n$
• $x = \frac{7\pi}{18} + 2\pi n$
• $x = \frac{11\pi}{18} + 2\pi n$
• $x = \frac{13\pi}{18} + 2\pi n$
• $x = \frac{17\pi}{18} + 2\pi n$

Теперь записываем красиво с учётом симметрии:

Ответ к а):

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \pi n;\quad (-1)^n \cdot \frac{5\pi}{18} + \pi n;\quad (-1)^n \cdot \frac{7\pi}{18} + \pi n;\quad \pi n$$

б) $\sqrt{\cos 5x + \cos x — \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$

Шаг 1. ОДЗ

$$\cos 5x + \cos x — \sin 5x \geq 0,\quad \sin x \geq 0$$

Шаг 2. Возведение в квадрат

$$\cos 5x + \cos x — \sin 5x = \sin x$$

Переносим:

$$\cos 5x + \cos x = \sin 5x + \sin x$$

Шаг 3. Используем формулы суммы косинусов и синусов

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$ $$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим:

• Левая: $2 \cos 3x \cdot \cos 2x$
• Правая: $2 \sin 3x \cdot \cos 2x$

Получаем:

$$2 \cos 3x \cdot \cos 2x = 2 \sin 3x \cdot \cos 2x$$

Шаг 4. Сокращаем на $2 \cos 2x$

$$\cos 2x (\cos 3x — \sin 3x) = 0$$

Шаг 5. Найдём корни

1) $\cos 2x = 0$

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

2) $\cos 3x = \sin 3x$

$$\tg 3x = 1 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

Шаг 6. Разложим решения

Первое уравнение:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k,\quad x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi k$$

Второе уравнение:

$$x_3 = \frac{\pi}{12} + \pi k,\quad x_4 = \frac{5\pi}{12} + \pi k,\quad x_5 = \frac{3\pi}{4} + \pi k$$

Шаг 7. Проверим по ОДЗ ($\sin x \geq 0$)

На промежутке $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$ синус положителен, поэтому:

• $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$
• $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$
• $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
• $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Ответ к б):

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;\quad \frac{\pi}{12} + 2\pi n;\quad \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$$