ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin\left(\pi\sqrt{5-x^2}\right) = 0,5$;

б) $\cos\left(\pi\sqrt{7-x^2}\right) = -0,5$

а) $\sin\left(\pi\sqrt{5-x^2}\right) = 0,5$;

$$\pi\sqrt{5-x^2} = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\sqrt{5-x^2} = (-1)^n \cdot \frac{1}{6} + n;$$

Левая часть принимает значения:

$$0 \leq \sqrt{5-x^2} \leq \sqrt{5};$$

Первое значение:

$$\sqrt{5-x^2} = (-1)^0 \cdot \frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{6};$$ $$5 — x^2 = \frac{1}{36};$$ $$x^2 = \frac{179}{36};$$ $$x = \pm \frac{\sqrt{179}}{6};$$

Второе значение:

$$\sqrt{5-x^2} = (-1)^1 \cdot \frac{1}{6} + 1 = \frac{5}{6};$$ $$5 — x^2 = \frac{25}{36};$$ $$x^2 = \frac{155}{36};$$ $$x = \pm \frac{\sqrt{155}}{6};$$

Третье уравнение:

$$\sqrt{5-x^2} = (-1)^2 \cdot \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6};$$ $$5 — x^2 = \frac{169}{36};$$ $$x^2 = \frac{11}{36};$$ $$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{6};$$

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{179}}{6}; \pm \frac{\sqrt{155}}{6}; \pm \frac{\sqrt{11}}{6}$.

б) $\cos\left(\pi\sqrt{7-x^2}\right) = -0,5$;

$$\pi\sqrt{7-x^2} = \pm\left(\pi — \arccos\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\sqrt{7-x^2} = \pm \frac{2}{3} + 2n;$$

Левая часть принимает значения:

$$0 \leq \sqrt{7-x^2} \leq \sqrt{7};$$

Первое значение:

$$\sqrt{7-x^2} = +\frac{2}{3} + 2 \cdot 0 = \frac{2}{3};$$ $$7 — x^2 = \frac{4}{9};$$ $$x^2 = \frac{59}{9};$$ $$x = \pm \frac{\sqrt{59}}{3};$$

Второе значение:

$$\sqrt{7-x^2} = -\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 = \frac{4}{3};$$ $$7 — x^2 = \frac{16}{9};$$ $$x^2 = \frac{47}{9};$$ $$x = \pm \frac{\sqrt{47}}{3};$$

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{59}}{3}; \pm \frac{\sqrt{47}}{3}$.

а)

Уравнение:

$$\sin\left(\pi\sqrt{5 — x^2}\right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Область определения

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$5 — x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 5 \Rightarrow x \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$$

Шаг 2. Найдём общее решение уравнения

Решаем:

$$\sin(\theta) = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Подставим:

$$\pi \sqrt{5 — x^2} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Разделим на $\pi$:

$$\sqrt{5 — x^2} = (-1)^n \cdot \frac{1}{6} + n$$

Шаг 3. Ограничим значения правой части

Левая часть — корень, значит:

$$\sqrt{5 — x^2} \geq 0 \Rightarrow (-1)^n \cdot \frac{1}{6} + n \geq 0$$

Также:

$$\sqrt{5 — x^2} \leq \sqrt{5} \Rightarrow \text{только значения в интервале } [0, \sqrt{5}]$$

Теперь проверим подходящие целые значения $n$.

Шаг 4. Перебираем значения $n$

$n = 0$:

$$\sqrt{5 — x^2} = (-1)^0 \cdot \frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{6}$$

Возводим в квадрат:

$$5 — x^2 = \frac{1}{36} \Rightarrow x^2 = \frac{179}{36} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{179}}{6}$$$$

$n = 1$:

$$\sqrt{5 — x^2} = (-1)^1 \cdot \frac{1}{6} + 1 = -\frac{1}{6} + 1 = \frac{5}{6}$$ $$5 — x^2 = \frac{25}{36} \Rightarrow x^2 = \frac{155}{36} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{155}}{6}$$

$n = 2$:

$$\sqrt{5 — x^2} = (-1)^2 \cdot \frac{1}{6} + 2 = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6}$$ $$5 — x^2 = \frac{169}{36} \Rightarrow x^2 = \frac{11}{36} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{11}}{6}$$

$n = 3$:

$$\sqrt{5 — x^2} = (-1)^3 \cdot \frac{1}{6} + 3 = -\frac{1}{6} + 3 = \frac{17}{6} \approx 2.83 \Rightarrow \left(\frac{17}{6}\right)^2 = \frac{289}{36} \approx 8.03 > 5$$

Противоречит ОДЗ, отбрасываем.

Ответ к пункту а):

$$x = \pm \frac{\sqrt{179}}{6}; \quad x = \pm \frac{\sqrt{155}}{6}; \quad x = \pm \frac{\sqrt{11}}{6}$$

б)

Уравнение:

$$\cos\left(\pi \sqrt{7 — x^2}\right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 1. Область определения

$$7 — x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 7 \Rightarrow x \in [-\sqrt{7}, \sqrt{7}]$$

Шаг 2. Общее решение уравнения

Решаем:

$$\cos \theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \pm\left(\pi — \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\right) + 2\pi n = \pm\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Подставляем:

$$\pi \sqrt{7 — x^2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow \sqrt{7 — x^2} = \pm \frac{2}{3} + 2n$$

Шаг 3. Ограничим значения правой части

Левая часть — корень: $\sqrt{7 — x^2} \in [0, \sqrt{7}]$

Найдём допустимые значения $n$, при которых правая часть остаётся в этом интервале.

Шаг 4. Перебираем значения $n$

$n = 0$:

• $+\frac{2}{3} + 0 = \frac{2}{3}$ — допустимо
• $-\frac{2}{3} + 0 = -\frac{2}{3}$ — отрицательно → не подходит

Подставляем:

$$\sqrt{7 — x^2} = \frac{2}{3} \Rightarrow 7 — x^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow x^2 = \frac{59}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{59}}{3}$$

$n = 1$:

• $\frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$, $(\frac{8}{3})^2 \approx 7.1 > 7$ — не подходит
• $-\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$

Допустимо:

$$\sqrt{7 — x^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow 7 — x^2 = \frac{16}{9} \Rightarrow x^2 = \frac{47}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{47}}{3}$$

$n = 2$:

$$\pm \frac{2}{3} + 4 = \left\{ \frac{14}{3}, \frac{10}{3} \right\} \Rightarrow \text{оба > } \sqrt{7} \approx 2.65 \Rightarrow \text{не подходят}$$

Ответ к пункту б):

$$x = \pm \frac{\sqrt{59}}{3}; \quad x = \pm \frac{\sqrt{47}}{3}$$$$