ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$\operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} + \sin \frac{2\pi x}{1 + x^2} = 2$

Решить уравнение:

$\operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} + \sin \frac{2\pi x}{1 + x^2} = 2$;

$\operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} + \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi x}{1 + x^2}} = 2$.

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2}$, тогда:

$$y + \frac{2y}{1 + y^2} = 2;$$ $$y(1 + y^2) + 2y = 2(1 + y^2);$$ $$y + y^3 + 2y = 2 + 2y^2;$$ $$y^3 + 3y — 2 — 2y^2 = 0;$$ $$(y^3 — y^2) — (y^2 — y) + (2y — 2) = 0;$$ $$y^2(y — 1) — y(y — 1) + 2(y — 1) = 0;$$ $$(y — 1)(y^2 — y + 2) = 0.$$

Первое уравнение:

$$y^2 — y + 2 = 0;$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7;$$ $$D < 0 \quad \text{— корней нет}.$$

Второе уравнение:

$$y — 1 = 0;$$ $$y = 1;$$ $$\operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} = 1;$$ $$\frac{\pi x}{1 + x^2} = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\frac{x}{1 + x^2} = \frac{1}{4} + n.$$

Найдем дискриминант:

$$\frac{4x}{1 + x^2} = 1 + 4n;$$ $$4x = (1 + x^2)(1 + 4n);$$ $$4x = 1 + 4n + x^2 + 4nx^2;$$ $$(4n + 1)x^2 — 4x + (4n + 1) = 0;$$ $$D = 4^2 — 4(4n + 1)(4n + 1) = 16 — 4(16n^2 + 8n + 1);$$ $$D = 4(4 — 16n^2 — 8n — 1) = 4(-16n^2 — 8n + 3).$$

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:

$$-16n^2 — 8n + 3 \geq 0;$$ $$16n^2 + 8n — 3 \leq 0;$$ $$D = 8^2 + 4 \cdot 16 \cdot 3 = 64 + 192 = 256, \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{-8 — 16}{2 \cdot 16} = \frac{-24}{32} = -\frac{3}{4};$$ $$n_2 = \frac{-8 + 16}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4};$$ $$\left(n + \frac{3}{4}\right)\left(n — \frac{1}{4}\right) \leq 0;$$ $$-\frac{3}{4} \leq n \leq \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad n = 0.$$

Корни исходного уравнения:

$$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{-16n^2 — 8n + 3}}{2(4n + 1)} = \frac{4 \pm 2\sqrt{-0 — 0 + 3}}{2 \cdot (0 + 1)} = 2 \pm \sqrt{3}.$$

Ответ: $2 \pm \sqrt{3}$.

Решить уравнение:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} + \sin \frac{2\pi x}{1 + x^2} = 2.$$

Шаг 1. Замена переменной

Обозначим:

$$y = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2}.$$

Тогда, по формуле двойного угла:

$$\sin \frac{2\pi x}{1 + x^2} = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi x}{1 + x^2}} = \frac{2y}{1 + y^2}.$$

Подставим в уравнение:

$$y + \frac{2y}{1 + y^2} = 2.$$

Шаг 2. Приведение к общему знаменателю

Переносим всё в одну часть уравнения:

$$y + \frac{2y}{1 + y^2} — 2 = 0.$$

Чтобы упростить, домножим всё уравнение на $1 + y^2$ — наименьший общий знаменатель:

$$y(1 + y^2) + 2y — 2(1 + y^2) = 0.$$

Раскроем скобки:

• $y(1 + y^2) = y + y^3$,
• $2y = 2y$,
• $2(1 + y^2) = 2 + 2y^2$.

Подставим:

$$y + y^3 + 2y — 2 — 2y^2 = 0.$$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$$y^3 — 2y^2 + 3y — 2 = 0.$$

Шаг 3. Разложение кубического уравнения

Ищем корни уравнения:

$$y^3 — 2y^2 + 3y — 2 = 0.$$

Применим группировку:

$$(y^3 — y^2) — (y^2 — y) + (2y — 2) = 0.$$

Распишем каждую группу:

• $y^3 — y^2 = y^2(y — 1)$,
• $— (y^2 — y) = -y(y — 1)$,
• $2y — 2 = 2(y — 1)$.

Соберем:

$$y^2(y — 1) — y(y — 1) + 2(y — 1) = 0.$$

Вынесем общий множитель $(y — 1)$:

$$(y — 1)\left( y^2 — y + 2 \right) = 0.$$

Шаг 4. Решение уравнения

Первая скобка:

$$y — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1.$$

Вторая скобка:

$$y^2 — y + 2 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7.$$

Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.

Шаг 5. Вернёмся к переменной $x$

Мы нашли:

$$y = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} = 1.$$

Решим уравнение:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} = 1.$$

Обратная функция:

$$\frac{\pi x}{1 + x^2} = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

Разделим обе части на $\pi$:

$$\frac{x}{1 + x^2} = \frac{1}{4} + n.$$

Шаг 6. Упростим уравнение

Получаем:

$$\frac{x}{1 + x^2} = \frac{1}{4} + n.$$

Домножим обе части уравнения на $1 + x^2$:

$$x = \left( \frac{1}{4} + n \right)(1 + x^2).$$

Раскроем скобки:

$$x = \left( \frac{1}{4} + n \right) + \left( \frac{1}{4} + n \right)x^2.$$

Перенесем всё в одну сторону:

$$\left( \frac{1}{4} + n \right)x^2 — x + \left( \frac{1}{4} + n \right) = 0.$$

Обозначим $A = \frac{1}{4} + n$, тогда уравнение:

$$A x^2 — x + A = 0.$$

Шаг 7. Решим квадратное уравнение

Для уравнения:

$$A x^2 — x + A = 0,$$

дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4A^2 = 1 — 4A^2.$$

Требуется, чтобы уравнение имело действительные корни, то есть:

$$D \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 1 — 4A^2 \geq 0.$$

Решим:

$$4A^2 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad A^2 \leq \frac{1}{4}.$$ $$-\frac{1}{2} \leq A \leq \frac{1}{2}.$$

Напомним, что $A = \frac{1}{4} + n$, тогда:

$$-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{4} + n \leq \frac{1}{2}.$$

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:

$$-\frac{3}{4} \leq n \leq \frac{1}{4}.$$

Так как $n \in \mathbb{Z}$, единственное целое значение — $n = 0$.

Шаг 8. Подставим $n = 0$

Получаем:

$$\frac{x}{1 + x^2} = \frac{1}{4}.$$

Домножим обе части на $1 + x^2$:

$$x = \frac{1}{4}(1 + x^2).$$

Умножим на 4:

$$4x = 1 + x^2.$$

Приведем к квадратному уравнению:

$$x^2 — 4x + 1 = 0.$$

Решим:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12.$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.$$

Ответ:

$$\boxed{x = 2 \pm \sqrt{3}}.$$