ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=4\sin x\cdot \cos x$$

Решить уравнение:

$$\sqrt{2}(\sin x + \cos x) = 4 \sin x \cdot \cos x;$$ $$\sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 2 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x;$$ $$\sqrt{2 + 2} \sin \left( x + \arcsin \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + 2}} \right) = 2 \sin 2x;$$ $$2 \sin \left( x + \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 \sin 2x;$$ $$\sin 2x — \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$2 \sin \frac{2x — \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{2} \cdot \cos \frac{2x + \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{2} = 0;$$ $$\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$

1) Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} = \pi n;$$ $$x = 2 \left( \frac{\pi}{8} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + 2 \pi n;$$

2) Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{2}{3} \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{8} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \pi n}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{2 \pi n}{3}}$$

Решить уравнение:

$$\sqrt{2}(\sin x + \cos x) = 4 \sin x \cdot \cos x.$$

Шаг 1. Упростим правую и левую части

Исходное уравнение:

$$\sqrt{2}(\sin x + \cos x) = 4 \sin x \cos x.$$

Разделим обе части на 2:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x) = 2 \sin x \cos x.$$

Напомним, что:

• $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$,
• $2 \sin x \cos x = \sin 2x$.

Подставим в уравнение:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin 2x.$$

Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 1$, получаем:

$$\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin 2x.$$

Шаг 2. Применим формулу разности синусов

$$\sin A — \sin B = 2 \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \cos\left( \frac{A + B}{2} \right).$$

Запишем:

$$\sin 2x — \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Это эквивалентно:

$$2 \sin\left( \frac{2x — \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{2x + \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{2} \right) = 0.$$

Вычислим аргументы:

• В первом синусе:

  $$\frac{2x — \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{2} = \frac{x — \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8}.$$

• Во втором косинусе:

  $$\frac{2x + \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{2} = \frac{3x + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{8}.$$

Итак, уравнение:

$$2 \sin\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \cdot \cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) = 0.$$

Шаг 3. Произведение равно нулю

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

1) Первый множитель:

$$\sin\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) = 0.$$

Общее решение:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Решим это уравнение:

$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{\pi}{8};$$ $$x = 2 \left( \pi n + \frac{\pi}{8} \right) = 2\pi n + \frac{\pi}{4}.$$

То есть:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2) Второй множитель:

$$\cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) = 0.$$

Общее решение:

$$\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Решим это уравнение:

$$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{8} + \pi n = \frac{4\pi}{8} — \frac{\pi}{8} + \pi n = \frac{3\pi}{8} + \pi n.$$

Умножим на $\frac{2}{3}$:

$$x = \frac{2}{3} \left( \frac{3\pi}{8} + \pi n \right) = \frac{2\pi}{8} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Шаг 4. Объединение решений

Мы получили два семейства решений:

1. $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$,
2. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$.

Первое множество входит во второе, поскольку:

• Подставим $n = 3k$ во вторую формулу:

  $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi \cdot 3k}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k.$$

То есть все решения из первого множества содержатся во втором.

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$