ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Дано уравнение с параметром $a$:

$$\sqrt{a \cos 2x — 3 \sin 2x} = \cos x.$$

Известно, что $x = 0$ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.

б) Дано уравнение с параметром $a$:

$$\sqrt{2 \sin 2x — a \cos 2x} + \sin x = 0.$$

Известно, что $x = -\frac{\pi}{2}$ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.

а)

$$\sqrt{a \cos 2x — 3 \sin 2x} = \cos x$$

Число $x = 0$ является решением, значит:

$$\sqrt{a \cos 0 — 3 \sin 0} = \cos 0;$$ $$\sqrt{a \cdot 1 — 3 \cdot 0} = 1;$$ $$\sqrt{a} = 1;$$ $$a = 1;$$

Решение уравнения:

$$\sqrt{\cos 2x — 3 \sin 2x} = \cos x;$$ $$\cos 2x — 3 \sin 2x = \cos^2 x;$$ $$(\cos^2 x — \sin^2 x) — 6 \sin x \cdot \cos x = \cos^2 x;$$ $$\sin^2 x + 6 \sin x \cdot \cos x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x + 6 \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x + 6 = 0;$$ $$\tg x = -6;$$ $$x = -\arctg 6 + \pi n;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\cos x \geq 0;$$ $$x_1 = 2\pi n;$$ $$x_2 = -\arctg 6 + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n; -\arctg 6 + 2\pi n$.

б)

$$\sqrt{2 \sin 2x — a \cos 2x} + \sin x = 0$$

Число $x = -\frac{\pi}{2}$ является решением, значит:

$$\sqrt{-2 \sin \pi — a \cos \pi} — \sin \frac{\pi}{2} = 0;$$ $$\sqrt{-2 \cdot 0 — a \cdot (-1)} — 1 = 0;$$ $$\sqrt{a} = 1;$$ $$a = 1;$$

Решение уравнения:

$$\sqrt{2 \sin 2x — \cos 2x} = -\sin x;$$ $$2 \sin 2x — \cos 2x = \sin^2 x;$$ $$4 \sin x \cdot \cos x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = \sin^2 x;$$ $$4 \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x = 0;$$ $$\cos x \cdot (4 \sin x — \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$4 \sin x — \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$4 \tg x — 1 = 0;$$ $$\tg x = \frac{1}{4};$$ $$x = \arctg \frac{1}{4} + \pi n;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\sin x \leq 0;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x_2 = \pi + \arctg \frac{1}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + \arctg \frac{1}{4} + 2\pi n$.

а)

Решить уравнение:

$$\sqrt{a \cos 2x — 3 \sin 2x} = \cos x.$$

Шаг 1. Найдём параметр $a$

По условию:
$x = 0$ — решение уравнения. Подставим его:

Левая часть:

$$\sqrt{a \cos(2 \cdot 0) — 3 \sin(2 \cdot 0)} = \sqrt{a \cdot 1 — 3 \cdot 0} = \sqrt{a}.$$

Правая часть:

$$\cos(0) = 1.$$

Приравняем:

$$\sqrt{a} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1.$$

Шаг 2. Подставим $a = 1$ в уравнение

$$\sqrt{\cos 2x — 3 \sin 2x} = \cos x.$$

Возведём обе части в квадрат (так как обе стороны неотрицательны):

$$\cos 2x — 3 \sin 2x = \cos^2 x.$$

Шаг 3. Преобразуем левую часть

Используем формулы:

• $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$,
• $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставим:

$$(\cos^2 x — \sin^2 x) — 3 \cdot 2 \sin x \cos x = \cos^2 x.$$

Упростим:

$$\cos^2 x — \sin^2 x — 6 \sin x \cos x = \cos^2 x.$$

Вычтем $\cos^2 x$ из обеих частей:

$$-\sin^2 x — 6 \sin x \cos x = 0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$\sin^2 x + 6 \sin x \cos x = 0.$$

Шаг 4. Вынесем общий множитель

$$\sin x (\sin x + 6 \cos x) = 0.$$

Отсюда два уравнения:

1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$.

2) $\sin x + 6 \cos x = 0 \Rightarrow \tan x = -6 \Rightarrow x = -\arctg 6 + \pi n$.

Шаг 5. Ограничение области

Так как исходное уравнение содержит корень, его аргумент должен быть неотрицателен:

$$\cos 2x — 3 \sin 2x \geq 0.$$

Также, правая часть уравнения — $\cos x$ — значит:

$$\cos x \geq 0.$$

Разберём оба условия на решениях.

a) $x = \pi n$

$$\cos x = \cos(\pi n) = (-1)^n \geq 0 \Rightarrow (-1)^n \geq 0.$$

Значит, $n$ — чётное: $n = 2k$, тогда:

$$x = 2\pi k.$$

b) $x = -\arctg 6 + \pi n$

Проверим знак $\cos x$. Угол $-\arctg 6$ лежит в IV четверти, где $\cos x > 0$, поэтому при $n$ чётном:

$$x = -\arctg 6 + 2\pi n \Rightarrow \cos x \geq 0.$$

Тогда оба решения при $x = 2\pi n$ и $x = -\arctg 6 + 2\pi n$ — подходят.

Ответ к пункту а):

$$\boxed{x = 2\pi n; \quad x = -\arctg 6 + 2\pi n}.$$

б)

Решить уравнение:

$$\sqrt{2 \sin 2x — a \cos 2x} + \sin x = 0.$$

Шаг 1. Найдём параметр $a$

По условию:
$x = -\frac{\pi}{2}$ — решение.

Подставим:

Левая часть:

$$\sqrt{2 \sin(-\pi) — a \cos(-\pi)} = \sqrt{2 \cdot 0 — a \cdot (-1)} = \sqrt{a}.$$

Правая часть:

$$-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -(-1) = 1.$$

Получаем:

$$\sqrt{a} = 1 \Rightarrow a = 1.$$

Шаг 2. Подставим $a = 1$

Получаем уравнение:

$$\sqrt{2 \sin 2x — \cos 2x} + \sin x = 0.$$

Переносим $\sin x$ вправо:

$$\sqrt{2 \sin 2x — \cos 2x} = -\sin x.$$

Левая часть — неотрицательная (корень), правая часть — отрицательная.

Значит:

$$\sin x \leq 0.$$

Переход к квадрату:

$$2 \sin 2x — \cos 2x = \sin^2 x.$$

Шаг 3. Преобразуем левую часть

Используем:

• $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,
• $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$.

Подставим:

$$2 \cdot (2 \sin x \cos x) — (\cos^2 x — \sin^2 x) = \sin^2 x;$$ $$4 \sin x \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x = \sin^2 x.$$

Вычтем $\sin^2 x$ из обеих сторон:

$$4 \sin x \cos x — \cos^2 x = 0.$$

Шаг 4. Вынесем общий множитель

$$\cos x (4 \sin x — \cos x) = 0.$$

Два случая:

1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$

Проверим условие: $\sin x \leq 0$

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = (-1)^n. \Rightarrow \sin x \leq 0 \Rightarrow (-1)^n \leq 0 \Rightarrow n \text{ нечётный}.$$

То есть:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

2) $4 \sin x — \cos x = 0$

Решим:

$$4 \sin x = \cos x \Rightarrow \tg x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \arctg\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n.$$

Проверим условие $\sin x \leq 0$.
$\arctg \frac{1}{4}$ — положительное, значит $\sin x > 0$, не подходит.

Берём решение в III четверти:

$$x = \pi + \arctg\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n. \Rightarrow \sin x < 0 \Rightarrow подходит.$$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = \pi + \arctg\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n}.$$