ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $8 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin x — 4 = 0$;

б) $4 \sin^2 \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2} = 1,5 + \sin x$

а) $8 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin x — 4 = 0$;

$8 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} — 3 \sin x — 4 = 0$;

$4 — 4 \cos x — 3 \sin x — 4 = 0$;

$3 \sin x + 4 \cos x = 0 \quad | : \cos x$;

$3 \operatorname{tg} x + 4 = 0$;

$\operatorname{tg} x = -\frac{4}{3}$;

$x = -\operatorname{arctg} \frac{4}{3} + \pi n$;

Ответ: $-\operatorname{arctg} \frac{4}{3} + \pi n$.

б) $4 \sin^2 \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2} = 1,5 + \sin x$;

$4 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} — \frac{1 + \cos x}{2} = 1,5 + \sin x$;

$2 — 2 \cos x — 0,5 — 0,5 \cos x = 1,5 + \sin x$;

$\sin x + 2,5 \cos x = 0 \quad | : \cos x$;

$\operatorname{tg} x + 2,5 = 0$;

$\operatorname{tg} x = -2,5$;

$x = -\operatorname{arctg} 2,5 + \pi n$;

Ответ: $-\operatorname{arctg} 2,5 + \pi n$.

а) Решить уравнение:

$$8 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin x — 4 = 0$$

Шаг 1. Преобразуем $\sin^2 \frac{x}{2}$ через $\cos x$

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{2}$$

Подставим в уравнение:

$$8 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} — 3 \sin x — 4 = 0$$

Шаг 2. Упростим выражение

$$4(1 — \cos x) — 3 \sin x — 4 = 0 \Rightarrow 4 — 4 \cos x — 3 \sin x — 4 = 0$$ $$-4 \cos x — 3 \sin x = 0 \Rightarrow 3 \sin x + 4 \cos x = 0$$

Шаг 3. Разделим обе части на $\cos x$, чтобы получить $\tg x$

$$\frac{3 \sin x}{\cos x} + 4 = 0 \Rightarrow 3 \tg x + 4 = 0$$

Шаг 4. Найдём $\tg x$

$$\tg x = -\frac{4}{3}$$

Шаг 5. Запишем общее решение

$$x = \arctg\left(-\frac{4}{3}\right) + \pi n = -\arctg\left(\frac{4}{3}\right) + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ (а):

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{4}{3} + \pi n$$

б) Решить уравнение:

$$4 \sin^2 \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2} = 1{,}5 + \sin x$$

Шаг 1. Используем формулы понижения степени:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{2},\quad \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$$

Подставим в уравнение:

$$4 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} — \frac{1 + \cos x}{2} = 1{,}5 + \sin x$$

Шаг 2. Упростим левую часть

$$2(1 — \cos x) — 0{,}5(1 + \cos x) = 1{,}5 + \sin x$$

Раскроем скобки:

$$2 — 2 \cos x — 0{,}5 — 0{,}5 \cos x = 1{,}5 + \sin x \Rightarrow 1{,}5 — 2{,}5 \cos x = 1{,}5 + \sin x$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону

$$1{,}5 — 2{,}5 \cos x — 1{,}5 — \sin x = 0 \Rightarrow -2{,}5 \cos x — \sin x = 0 \Rightarrow \sin x + 2{,}5 \cos x = 0$$

Шаг 4. Разделим на $\cos x$, чтобы получить $\tg x$

$$\frac{\sin x}{\cos x} + 2{,}5 = 0 \Rightarrow \tg x + 2{,}5 = 0$$

Шаг 5. Найдём $\tg x$

$$\tg x = -2{,}5$$

Шаг 6. Общее решение:

$$x = \arctg(-2{,}5) + \pi n = -\arctg(2{,}5) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ (б):

$$x = -\operatorname{arctg} 2{,}5 + \pi n$$