ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1{,}5$;

б) $\cos^2 2x + \cos^2 4x + \cos^2 6x = 1{,}5$

а) $\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1{,}5$;

$$\frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 4x}{2} + \frac{1 — \cos 6x}{2} = 1{,}5;$$ $$3 — \cos 2x — \cos 4x — \cos 6x = 3;$$ $$\cos 6x + \cos 2x + \cos 4x = 0;$$ $$2 \cos \frac{6x + 2x}{2} \cdot \cos \frac{6x — 2x}{2} + \cos 4x = 0;$$ $$2 \cos 4x \cdot \cos 2x + \cos 4x = 0;$$ $$\cos 4x \cdot (2 \cos 2x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi (1 + 2n)}{8};$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x + 1 = 0;$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi (1 + 2n)}{8}; \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $\cos^2 2x + \cos^2 4x + \cos^2 6x = 1{,}5$;

$$\frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} + \frac{1 + \cos 12x}{2} = 1{,}5;$$ $$3 + \cos 4x + \cos 8x + \cos 12x = 3;$$ $$\cos 12x + \cos 4x + \cos 8x = 0;$$ $$2 \cos \frac{12x + 4x}{2} \cdot \cos \frac{12x — 4x}{2} + \cos 8x = 0;$$ $$2 \cos 8x \cdot \cos 4x + \cos 8x = 0;$$ $$\cos 8x \cdot (2 \cos 4x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 8x = 0;$$ $$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8};$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 4x + 1 = 0;$$ $$\cos 4x = -\frac{1}{2};$$ $$4x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}; \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

а) Решить уравнение:

$$\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1{,}5$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени:

$$\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2}$$

Применим эту формулу ко всем трём слагаемым:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}, \quad \sin^2 2x = \frac{1 — \cos 4x}{2}, \quad \sin^2 3x = \frac{1 — \cos 6x}{2}$$

Подставляем:

$$\frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 4x}{2} + \frac{1 — \cos 6x}{2} = 1{,}5$$

Шаг 2: Объединяем все дроби:

$$\frac{1 — \cos 2x + 1 — \cos 4x + 1 — \cos 6x}{2} = 1{,}5$$

Соберём числитель:

$$\frac{3 — (\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x)}{2} = 1{,}5$$

Шаг 3: Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$$3 — (\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x) = 3$$

Шаг 4: Переносим всё в правую часть:

$$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0$$

Шаг 5: Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Сгруппируем $\cos 2x + \cos 6x$, оставив $\cos 4x$ отдельно:

$$(\cos 2x + \cos 6x) + \cos 4x = 0$$

Применим формулу:

$$2 \cos \left( \frac{6x + 2x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{6x — 2x}{2} \right) + \cos 4x = 0$$ $$2 \cos 4x \cdot \cos 2x + \cos 4x = 0$$

Шаг 6: Вынесем $\cos 4x$ за скобки:

$$\cos 4x (2 \cos 2x + 1) = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Получаем два уравнения:

Уравнение 1:

$$\cos 4x = 0$$

Решение:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим обе части на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi (1 + 2n)}{8}$$

Уравнение 2:

$$2 \cos 2x + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$$

Из тригонометрии знаем:

$$\cos \theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n \Rightarrow \theta = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

В нашем случае $\theta = 2x$:

$$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ (а):

$$x = \frac{\pi (1 + 2n)}{8}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

б) Решить уравнение:

$$\cos^2 2x + \cos^2 4x + \cos^2 6x = 1{,}5$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени:

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

Применим её ко всем трём членам:

$$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}, \quad \cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2}, \quad \cos^2 6x = \frac{1 + \cos 12x}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} + \frac{1 + \cos 12x}{2} = 1{,}5$$

Шаг 2: Объединяем все дроби:

$$\frac{1 + \cos 4x + 1 + \cos 8x + 1 + \cos 12x}{2} = 1{,}5 \Rightarrow \frac{3 + (\cos 4x + \cos 8x + \cos 12x)}{2} = 1{,}5$$

Шаг 3: Умножаем обе части на 2:

$$3 + \cos 4x + \cos 8x + \cos 12x = 3$$

Шаг 4: Переносим всё в правую часть:

$$\cos 4x + \cos 8x + \cos 12x = 0$$

Шаг 5: Сгруппируем и применим формулу суммы косинусов:

Сгруппируем $\cos 4x + \cos 12x$, оставив $\cos 8x$:

$$(\cos 4x + \cos 12x) + \cos 8x = 0$$

Применим:

$$2 \cos \left( \frac{12x + 4x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{12x — 4x}{2} \right) + \cos 8x = 0 \Rightarrow 2 \cos 8x \cdot \cos 4x + \cos 8x = 0$$

Шаг 6: Вынесем $\cos 8x$:

$$\cos 8x (2 \cos 4x + 1) = 0$$

Два случая:

Уравнение 1:

$$\cos 8x = 0 \Rightarrow 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$$

Уравнение 2:

$$2 \cos 4x + 1 = 0 \Rightarrow \cos 4x = -\frac{1}{2}$$

Аналогично:

$$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ (б):

$$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}; \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$