ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 x + \sin^2 \frac{5x}{2} + \sin^2 2x = 2$;

б) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2$

а) $\sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 x + \sin^2 \frac{5x}{2} + \sin^2 2x = 2$;

$$\frac{1 — \cos x}{2} + \frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 5x}{2} + \frac{1 — \cos 4x}{2} = 2;$$ $$4 — \cos x — \cos 2x — \cos 4x — \cos 5x = 4;$$ $$\cos 5x + \cos x + \cos 4x + \cos 2x = 0;$$ $$2 \cos \frac{5x + x}{2} \cdot \cos \frac{5x — x}{2} + 2 \cos \frac{4x + 2x}{2} \cdot \cos \frac{4x — 2x}{2} = 0;$$ $$2 \cos 3x \cdot \cos 2x + 2 \cos 3x \cdot \cos x = 0;$$ $$2 \cos 3x \cdot (\cos 2x + \cos x) = 0;$$ $$2 \cos 3x \cdot 2 \cos \frac{2x + x}{2} \cdot \cos \frac{2x — x}{2} = 0;$$ $$4 \cos 3x \cdot \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 3x = 0;$$ $$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi (1 + 2n)}{6};$$

Второе уравнение:

$$\cos \frac{3x}{2} = 0;$$ $$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi (1 + 2n)}{3};$$

Третье уравнение:

$$\cos \frac{x}{2} = 0;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \pi + 2\pi n = \pi (1 + 2n);$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi (1 + 2n)}{6}; \frac{\pi (1 + 2n)}{3}; \pi (1 + 2n)}$

б) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2$;

$$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} = 2;$$ $$4 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 4;$$ $$\cos 8x + \cos 2x + \cos 6x + \cos 4x = 0;$$ $$2 \cos \frac{8x + 2x}{2} \cdot \cos \frac{8x — 2x}{2} + 2 \cos \frac{6x + 4x}{2} \cdot \cos \frac{6x — 4x}{2} = 0;$$ $$2 \cos 5x \cdot \cos 3x + 2 \cos 5x \cdot \cos x = 0;$$ $$2 \cos 5x \cdot (\cos 3x + \cos x) = 0;$$ $$2 \cos 5x \cdot 2 \cos \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} = 0;$$ $$4 \cos 5x \cdot \cos 2x \cdot \cos x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 5x = 0;$$ $$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} = \frac{\pi (1 + 2n)}{10};$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi (1 + 2n)}{4};$$

Третье уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi (1 + 2n)}{2};$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi (1 + 2n)}{10}; \frac{\pi (1 + 2n)}{4}; \frac{\pi (1 + 2n)}{2}}$

а) Решить уравнение:

$$\sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 x + \sin^2 \frac{5x}{2} + \sin^2 2x = 2$$

Шаг 1: Применяем формулу понижения степени

Формула:

$$\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2}$$

Применяем по очереди:

• $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{2}$
• $\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$
• $\sin^2 \frac{5x}{2} = \frac{1 — \cos 5x}{2}$
• $\sin^2 2x = \frac{1 — \cos 4x}{2}$

Шаг 2: Подставляем в уравнение

$$\frac{1 — \cos x}{2} + \frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 5x}{2} + \frac{1 — \cos 4x}{2} = 2$$

Соберём всё в одну дробь:

$$\frac{(1 + 1 + 1 + 1) — (\cos x + \cos 2x + \cos 4x + \cos 5x)}{2} = 2$$ $$\frac{4 — (\cos x + \cos 2x + \cos 4x + \cos 5x)}{2} = 2$$

Шаг 3: Умножим обе части на 2

$$4 — (\cos x + \cos 2x + \cos 4x + \cos 5x) = 4$$

Шаг 4: Переносим

$$\cos x + \cos 2x + \cos 4x + \cos 5x = 0$$

Шаг 5: Сгруппируем по парам и применим формулу суммы косинусов

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Группируем $\cos x + \cos 5x$ и $\cos 2x + \cos 4x$:

Сначала $\cos x + \cos 5x$:

$$\cos x + \cos 5x = 2 \cos \left( \frac{5x + x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{5x — x}{2} \right) = 2 \cos 3x \cdot \cos 2x$$

Затем $\cos 2x + \cos 4x$:

$$\cos 2x + \cos 4x = 2 \cos \left( \frac{4x + 2x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{4x — 2x}{2} \right) = 2 \cos 3x \cdot \cos x$$

Шаг 6: Объединяем результат

$$2 \cos 3x \cdot \cos 2x + 2 \cos 3x \cdot \cos x = 0$$

Вынесем $2 \cos 3x$:

$$2 \cos 3x \cdot (\cos 2x + \cos x) = 0$$

Шаг 7: Преобразуем вторую скобку снова по формуле суммы косинусов

$$\cos 2x + \cos x = 2 \cos \left( \frac{2x + x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{2x — x}{2} \right) = 2 \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 8: Подставляем обратно

$$2 \cos 3x \cdot 2 \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow 4 \cos 3x \cdot \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 9: Произведение трёх множителей. Уравнение равно нулю, если любой из них равен нулю. Получаем 3 уравнения:

1) $\cos 3x = 0$

$$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi (1 + 2n)}{6}$$

2) $\cos \frac{3x}{2} = 0$

$$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi (1 + 2n)}{3}$$

3) $\cos \frac{x}{2} = 0$

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n = \pi(1 + 2n)$$

Ответ (а):

$$\boxed{\frac{\pi (1 + 2n)}{6};\quad \frac{\pi (1 + 2n)}{3};\quad \pi (1 + 2n)}$$

б) Решить уравнение:

$$\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2$$

Шаг 1: Применяем формулу понижения степени

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

Преобразуем:

• $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
• $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$
• $\cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}$
• $\cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2}$

Шаг 2: Подставляем в исходное уравнение

$$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} = 2$$

Соберём числитель:

$$\frac{4 + (\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x)}{2} = 2$$

Шаг 3: Умножим обе части на 2

$$4 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 4$$

Шаг 4: Переносим 4 вправо

$$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0$$

Шаг 5: Группируем по парам и применяем формулу суммы косинусов

Группируем: $\cos 2x + \cos 8x$ и $\cos 4x + \cos 6x$

$\cos 2x + \cos 8x$:

$$2 \cos \left( \frac{8x + 2x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{8x — 2x}{2} \right) = 2 \cos 5x \cdot \cos 3x$$

$\cos 4x + \cos 6x$:

$$2 \cos \left( \frac{6x + 4x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{6x — 4x}{2} \right) = 2 \cos 5x \cdot \cos x$$

Шаг 6: Подставим обратно в уравнение

$$2 \cos 5x \cdot \cos 3x + 2 \cos 5x \cdot \cos x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$2 \cos 5x \cdot (\cos 3x + \cos x) = 0$$

Шаг 7: Раскроем скобку с помощью формулы суммы косинусов

$$\cos 3x + \cos x = 2 \cos \left( \frac{3x + x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x — x}{2} \right) = 2 \cos 2x \cdot \cos x$$

Шаг 8: Подставим

$$2 \cos 5x \cdot 2 \cos 2x \cdot \cos x = 0 \Rightarrow 4 \cos 5x \cdot \cos 2x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 9: Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю

1) $\cos 5x = 0$

$$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} = \frac{\pi (1 + 2n)}{10}$$

2) $\cos 2x = 0$

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi (1 + 2n)}{4}$$

3) $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi (1 + 2n)}{2}$$

Ответ (б):

$$\boxed{\frac{\pi (1 + 2n)}{10};\quad \frac{\pi (1 + 2n)}{4};\quad \frac{\pi (1 + 2n)}{2}}$$