ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

a) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней.

б) имеют рациональные корни, но не имеют целых корней

в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней;

г) не имеют действительных корней.

Привести примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

а) Имеют целые корни, но не имеют натуральных корней:

$$x = -2 \quad => \quad x + 2 = 0;$$ $$x = -3 \quad => \quad x + 3 = 0 \quad => \quad 5x + 15 = 0;$$ $$x = 0 \quad => \quad x + 1 = 1;$$

б) Имеют рациональные корни, но не имеют целых корней:

$$x = \frac{3}{4} \quad => \quad 4x = 3;$$ $$x = -0{,}5 \quad => \quad x + 1 = 0{,}5;$$ $$x = 0{,}(3) \quad => \quad x = \frac{3}{9} \quad => \quad 6x = 2;$$

в) Имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней:

$$x = \sqrt{2} \quad => \quad \sqrt{2}x = 2 \quad => \quad \sqrt{2}x — 3 = -1;$$ $$x = \pi \quad => \quad x — \pi = 0;$$ $$x = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \quad => \quad x — 1 = \sin \frac{\pi}{6};$$

г) Не имеют действительных корней:

$$0x = 4;$$ $$x = x + 3;$$ $$2x = 2(x — 4);$$

Привести примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

а) Имеют целые корни, но не имеют натуральных корней

Напоминание:

• Целые числа: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…
• Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, … (иногда включают 0, но здесь не включают, т.к. 0 в примере исключён из натуральных)

Пример 1:

$$x = -2 \quad \Rightarrow \quad x + 2 = 0$$

Решение уравнения:

$$x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2$$

• Корень: $x = -2$ — целое, но не натуральное
• Условие выполнено

Пример 2:

$$x = -3 \quad \Rightarrow \quad x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x + 15 = 0$$

Разберём оба варианта:

$$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$ $$5x + 15 = 0 \Rightarrow 5x = -15 \Rightarrow x = -3$$

• В обоих случаях $x = -3$
• Это целое число, но не натуральное
• Условие выполнено

Пример 3:

$$x = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 1 = 1$$

Решение:

$$x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$$

• $x = 0$ — целое число, но не входит в множество натуральных (по условию задачи)
• Условие выполнено

Подытог а):

Все три примера имеют целые, но не натуральные корни.

б) Имеют рациональные корни, но не имеют целых корней

Напоминание:

• Рациональные числа — дроби вида $\frac{m}{n}$, где $m, n\in \mathbb{Z}, n \ne 0$
• Целые числа — особый случай рациональных (например, $\frac{3}{1} = 3$)

Пример 1:

$$x = \frac{3}{4} \Rightarrow 4x = 3$$

Решение:

$$4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$$

• $x = \frac{3}{4}$ — рациональное, не целое
• Условие выполнено

Пример 2:

$$x = -0{,}5 \Rightarrow x + 1 = 0{,}5$$

Пояснение:

• $-0{,}5 = -\frac{1}{2}$
• $0{,}5 = \frac{1}{2}$

Проверим:

$$x + 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$$

• Рациональное значение, не целое
• Условие выполнено

Пример 3:

$$x = 0{,}(3) \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow 6x = 2$$

Решение:

$$6x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$$

• Рациональное, не целое
• Условие выполнено

Подытог б):

Все три примера имеют рациональные, но не целые корни

в) Имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней

Напоминание:

• Действительные числа включают рациональные и иррациональные
• Условия требуют, чтобы корень был действительным, но не рациональным → т.е. иррациональным

Пример 1:

$$x = \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}x = 2 \Rightarrow \sqrt{2}x — 3 = -1$$

Анализ:

• $\sqrt{2}$ — иррациональное число
• Проверим уравнение:

  $$\sqrt{2}x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2}x — 3 = -1 \Rightarrow \sqrt{2}x = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$$

• В обоих случаях $x = \sqrt{2}$, что действительное, иррациональное
• Условие выполнено

Пример 2:

$$x = \pi \Rightarrow x — \pi = 0$$

Решение:

$$x — \pi = 0 \Rightarrow x = \pi$$

• $\pi$ — иррациональное, действительное
• Условие выполнено

Пример 3:

$$x = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \Rightarrow x — 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3}$$

Решение:

• $\sqrt{3}$ — иррациональное
• Следовательно, $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ — иррациональное
• Уравнение:

  $$x — 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$$

• Условие выполнено

Подытог в):

Все примеры имеют действительные, но не рациональные (иррациональные) корни

г) Не имеют действительных корней

Это значит, что уравнение не имеет решений вообще в $\mathbb{R}$

Пример 1:

$$0x = 4$$

Анализ:

• Любое уравнение вида $0 \cdot x = a$, где $a \ne 0$, не имеет решений:

  $$0 = 4 \quad \text{— противоречие}$$

• Нет действительных решений
• Условие выполнено

Пример 2:

$$x = x + 3$$

Анализ:

$$x = x + 3 \Rightarrow x — x = x + 3 — x \Rightarrow 0 = 3$$

• Противоречие, нет решения
• Условие выполнено

Пример 3:

$$2x = 2(x — 4)$$

Решение:

$$2x = 2x — 8 \Rightarrow 2x — 2x = -8 \Rightarrow 0 = -8$$

• Противоречие, нет решений
• Условие выполнено

Подытог г):

Все три уравнения не имеют решений в действительных числах

Итог:

а) Целые, но не натуральные корни

б) Рациональные, но не целые

в) Действительные, но не рациональные

г) Нет действительных корней вообще