ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ найдите их сумму $z_1 + z_2$ и разность $z_1 — z_2$, если:

а) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 — 2i$;

б) $z_1 = 2 + i$, $z_2 = -3 + 2i$;

в) $z_1 = i^{15}$, $z_2 = 15 + i$;

г) $z_1 = i^{17} + 18i^{18}$, $z_2 = 15i^{15} — 16(-i)^{16}$

Для комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ найти их сумму $z_1 + z_2$ и разность $z_1 — z_2$, если:

а) $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 1 — 2i$;

$$z_1 + z_2 = (1 + i) + (1 — 2i) = 2 — i;$$ $$z_1 — z_2 = (1 + i) — (1 — 2i) = 3i;$$

Ответ: $2 — i; 3i$.

б) $z_1 = 2 + i$ и $z_2 = -3 + 2i$;

$$z_1 + z_2 = (2 + i) + (-3 + 2i) = -1 + 3i;$$ $$z_1 — z_2 = (2 + i) — (-3 + 2i) = 5 — i;$$

Ответ: $-1 + 3i; 5 — i$.

в) $z_1 = i^{15}$ и $z_2 = 15 + i$;

$$z_1 = i^{15} = i^{14} \cdot i = (i^2)^7 \cdot i = (-1)^7 \cdot i = -i;$$ $$z_1 + z_2 = -i + (15 + i) = 15;$$ $$z_1 — z_2 = -i — (15 + i) = -15 — 2i;$$

Ответ: $15; -15 — 2i$.

г) $z_1 = i^{17} + 18i^{18}$ и $z_2 = 15i^{15} — 16(-i)^{16}$;

$$z_1 = i^{17} + 18i^{18} = (i^2)^8 \cdot i + 18 \cdot (i^2)^9 = i — 18;$$ $$z_2 = 15i^{15} — 16(-i)^{16} = 15i \cdot (i^2)^7 — 16 \cdot (i^2)^8 = -15i — 16;$$ $$z_1 + z_2 = (i — 18) + (-15i — 16) = -34 — 14i;$$ $$z_1 — z_2 = (i — 18) — (-15i — 16) = -2 + 16i;$$

Ответ: $-34 — 14i; -2 + 16i$.

Для комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ найти их сумму $z_1 + z_2$ и разность $z_1 — z_2$, если:

а) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 — 2i$

Сумма:

$$z_1 + z_2 = (1 + i) + (1 — 2i)$$

Складываем действительные и мнимые части по отдельности:

• Действительные части: $1 + 1 = 2$
• Мнимые части: $i + (-2i) = -i$

$$z_1 + z_2 = 2 — i$$

Разность:

$$z_1 — z_2 = (1 + i) — (1 — 2i)$$

Вычитаем каждую часть:

• Действительные: $1 — 1 = 0$
• Мнимые: $i — (-2i) = i + 2i = 3i$

$$z_1 — z_2 = 3i$$

Ответ: $\boxed{2 — i; \ 3i}$

б) $z_1 = 2 + i$, $z_2 = -3 + 2i$

Сумма:

$$z_1 + z_2 = (2 + i) + (-3 + 2i)$$

Складываем части:

• Действительные: $2 + (-3) = -1$
• Мнимые: $i + 2i = 3i$

$$z_1 + z_2 = -1 + 3i$$

Разность:

$$z_1 — z_2 = (2 + i) — (-3 + 2i)$$

Раскроем скобки:

$$2 + i + 3 — 2i = (2 + 3) + (i — 2i)$$

• Действительные: $2 + 3 = 5$
• Мнимые: $i — 2i = -i$

$$z_1 — z_2 = 5 — i$$

Ответ: $\boxed{-1 + 3i; \ 5 — i}$

в) $z_1 = i^{15}$, $z_2 = 15 + i$

Вспомним свойства степеней мнимой единицы:

$$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad \text{и далее по циклу каждые 4 степени.}$$

Так как степени повторяются каждые 4:

$$i^n = i^{n \mod 4}$$

Находим:

$$i^{15} = i^{15 \mod 4} = i^3 = -i \Rightarrow z_1 = -i$$

Сумма:

$$z_1 + z_2 = -i + (15 + i) = 15 + (-i + i) = 15$$

Разность:

$$z_1 — z_2 = -i — (15 + i) = -i — 15 — i = -15 — 2i$$

Ответ: $\boxed{15; \ -15 — 2i}$

г) $z_1 = i^{17} + 18i^{18}$, $z_2 = 15i^{15} — 16(-i)^{16}$

Вычислим $z_1$:

1. $i^{17}$:

$$i^{17} = i^{17 \mod 4} = i^1 = i$$

2. $i^{18}$:

$$i^{18} = i^{18 \mod 4} = i^2 = -1$$ $$18i^{18} = 18 \cdot (-1) = -18$$

Следовательно:

$$z_1 = i + (-18) = i — 18$$

Вычислим $z_2$:

1. $i^{15}$:

$$i^{15} = i^{15 \mod 4} = i^3 = -i$$ $$15i^{15} = 15 \cdot (-i) = -15i$$

2. $(-i)^{16}$:

Преобразуем:

$$(-i)^{16} = ((-i)^2)^8 = (-1)^8 \cdot i^{16} = 1 \cdot i^0 = 1$$ $$-16(-i)^{16} = -16 \cdot 1 = -16$$

Следовательно:

$$z_2 = -15i — 16$$

Сумма:

$$z_1 + z_2 = (i — 18) + (-15i — 16)$$

Складываем:

• Действительные: $-18 — 16 = -34$
• Мнимые: $i — 15i = -14i$

$$z_1 + z_2 = -34 — 14i$$

Разность:

$$z_1 — z_2 = (i — 18) — (-15i — 16)$$

Раскрываем скобки:

$$i — 18 + 15i + 16 = (i + 15i) + (-18 + 16) = 16i — 2$$ $$z_1 — z_2 = -2 + 16i$$

Ответ: $\boxed{-34 — 14i; \ -2 + 16i}$

Итоговые ответы:

а) $2 — i; \ 3i$

б) $-1 + 3i; \ 5 — i$

в) $15; \ -15 — 2i$

г) $-34 — 14i; \ -2 + 16i$