ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$, $z_1 \in \mathbb{C},\; z_2 \in \mathbb{C}$;

б) $(a + b)z = az + bz$, $a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R},\; z \in \mathbb{C}$;

в) $(ab)z = a(bz)$, $a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R},\; z \in \mathbb{C}$;

г) $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$, $a \in \mathbb{R},\; z_1 \in \mathbb{C},\; z_2 \in \mathbb{C}$

Доказать, что:

а) $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$, $z_1 \in \mathbb{C},\; z_2 \in \mathbb{C}$;

Пусть $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, тогда:

$$z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i;$$ $$z_2 + z_1 = (c + di) + (a + bi) = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i;$$

Числа равны, что и требовалось доказать.

б) $(a + b)z = az + bz$, $a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R},\; z \in \mathbb{C}$;

Пусть $z = c + di$, тогда:

$$(a + b)z = (a + b)(c + di) = ac + adi + bc + bdi =$$ $$= (ac + bc) + (ad + bd)i;$$ $$az + bz = a(c + di) + b(c + di) = ac + adi + bc + bdi =$$ $$= (ac + bc) + (ad + bd)i;$$

Числа равны, что и требовалось доказать.

в) $(ab)z = a(bz)$, $a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R},\; z \in \mathbb{C}$;

Пусть $z = c + di$, тогда:

$$(ab)z = ab(c + di) = abc + abdi;$$ $$a(bz) = a(b \cdot (c + di)) = a(bc + bdi) = abc + abdi;$$

Числа равны, что и требовалось доказать.

г) $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$, $a \in \mathbb{R},\; z_1 \in \mathbb{C},\; z_2 \in \mathbb{C}$;

Пусть $z_1 = b + ci$ и $z_2 = d + ei$, тогда:

$$a(z_1 + z_2) = a((b + ci) + (d + ei)) = a(b + d) + a(c + e)i =$$ $$= (ab + ad) + (ac + ae)i;$$ $$az_1 + az_2 = a(b + ci) + a(d + ei) = ab + aci + ad + aei =$$ $$= (ab + ad) + (ac + ae)i;$$

Числа равны, что и требовалось доказать.

Доказать следующие свойства комплексных чисел:

а) $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$

(коммутативность сложения)
Пусть:

• $z_1 = a + bi$,
• $z_2 = c + di$,
  где $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, то есть все действительные.

Вычислим левую часть:

$$z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di)$$

Складываем действительные и мнимые части по правилам:

$$= (a + c) + (b + d)i$$

Вычислим правую часть:

$$z_2 + z_1 = (c + di) + (a + bi)$$

Снова складываем:

$$= (c + a) + (d + b)i$$

Но сложение действительных и мнимых чисел — коммутативно, поэтому:

$$a + c = c + a, \quad b + d = d + b$$

Таким образом:

$$z_1 + z_2 = z_2 + z_1$$

Что и требовалось доказать.

б) $(a + b)z = az + bz$

(дистрибутивность умножения действительных чисел на комплексное)

Пусть:

• $a, b \in \mathbb{R}$,
• $z = c + di$, где $c, d \in \mathbb{R}$

Левая часть:

$$(a + b)z = (a + b)(c + di)$$

Используем распределительное свойство умножения:

$$= a(c + di) + b(c + di)$$

Распишем каждое произведение:

• $a(c + di) = ac + adi$
• $b(c + di) = bc + bdi$

Сложим:

$$= ac + adi + bc + bdi$$

Сгруппируем по действительной и мнимой частям:

$$= (ac + bc) + (ad + bd)i$$

Правая часть:

$$az + bz = a(c + di) + b(c + di)$$

Мы только что расписали их выше, и результат тот же:

$$= (ac + bc) + (ad + bd)i$$

Следовательно:

$$(a + b)z = az + bz$$

Что и требовалось доказать.

в) $(ab)z = a(bz)$

(ассоциативность умножения действительных и комплексных чисел)

Пусть:

• $a, b \in \mathbb{R}$,
• $z = c + di$

Левая часть:

$$(ab)z = ab(c + di)$$

Распределим:

$$= abc + abdi$$

Правая часть:

$$a(bz) = a \cdot (b(c + di)) = a \cdot (bc + bdi)$$

Распределим:

$$= abc + abdi$$

Итак, обе части равны:

$$(ab)z = a(bz)$$

Что и требовалось доказать.

г) $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$

(дистрибутивность умножения по сложению)

Пусть:

• $a \in \mathbb{R}$,
• $z_1 = b + ci$,
• $z_2 = d + ei$, где все коэффициенты — действительные числа.

Левая часть:

$$a(z_1 + z_2) = a((b + ci) + (d + ei))$$

Складываем два комплексных числа:

• Действительные части: $b + d$
• Мнимые части: $c + e$

$$= a((b + d) + (c + e)i)$$

Распределим умножение:

$$= a(b + d) + a(c + e)i$$

То есть:

$$= ab + ad + aci + aei = (ab + ad) + (ac + ae)i$$

Правая часть:

$$az_1 + az_2 = a(b + ci) + a(d + ei)$$

Распишем каждое умножение:

• $a(b + ci) = ab + aci$
• $a(d + ei) = ad + aei$

Сложим:

$$= ab + aci + ad + aei = (ab + ad) + (ac + ae)i$$

Совпадает с левой частью.

Что и требовалось доказать.

Вывод:

Все четыре свойства подтверждены с полной детализацией. Они иллюстрируют основные алгебраические свойства операций над комплексными числами:

• Коммутативность сложения
• Дистрибутивность умножения по сложению
• Ассоциативность умножения
• Согласованность операций с действительными и комплексными числами