ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что число $az_1 + z_2$, где $a \in \mathbb{R}$, является чисто мнимым. Найдите число $a$, если:

а) $z_1 = 3 + i$, $z_2 = 6 — i$;

б) $z_1 = 12 — 13i$, $z_2 = 3i$;

в) $z_1 = 8 + 3i$, $z_2 = -1 — 2i$;$0{,}125$

г) $z_1 = i$, $z_2 = -1 + 2i$

Известно, что число $az_1 + z_2$, где $a \in \mathbb{R}$, является чисто мнимым. Найти число $a$, если:

а) $z_1 = 3 + i$, $z_2 = 6 — i$;

$$az_1 = a(3 + i) = 3a + ai;$$ $$az_1 + z_2 = (3a + ai) + (6 — i) = (3a + 6) + (a — 1)i;$$ $$3a + 6 = 0;$$ $$3a = -6;$$ $$a = -2.$$

Ответ: $-2$

б) $z_1 = 12 — 13i$, $z_2 = 3i$;

$$az_1 = a(12 — 13i) = 12a — 13ai;$$ $$az_1 + z_2 = (12a — 13ai) + 3i = 12a + (3 — 13a)i;$$ $$12a = 0;$$ $$a = 0.$$

Ответ: $0$

в) $z_1 = 8 + 3i$, $z_2 = -1 — 2i$;

$$az_1 = a(8 + 3i) = 8a + 3ai;$$ $$az_1 + z_2 = (8a + 3ai) + (-1 — 2i) = (8a — 1) + (3a — 2)i;$$ $$8a — 1 = 0;$$ $$8a = 1;$$ $$a = 0{,}125.$$

Ответ: $0{,}125$

г) $z_1 = i$, $z_2 = -1 + 2i$;

$$az_1 + z_2 = ai + (-1 + 2i) = -1 + (a + 2)i;$$ $$-1 = 0;$$

Ответ: нет.

Число $az_1 + z_2$ является чисто мнимым, то есть его действительная часть равна нулю.
Найти $a \in \mathbb{R}$, если заданы комплексные числа $z_1$, $z_2$.

а)

Дано:

• $z_1 = 3 + i$
• $z_2 = 6 — i$

Шаг 1. Вычислим произведение:

$$az_1 = a(3 + i) = 3a + ai$$

Шаг 2. Прибавим $z_2$:

$$az_1 + z_2 = (3a + ai) + (6 — i)$$

Шаг 3. Сгруппируем действительные и мнимые части:

• Действительная часть: $3a + 6$
• Мнимая часть: $a — 1$

Итого:

$$az_1 + z_2 = (3a + 6) + (a — 1)i$$

Шаг 4. По условию, число чисто мнимое, значит:

$$3a + 6 = 0 \Rightarrow 3a = -6 \Rightarrow a = -2$$

Ответ: $\boxed{-2}$

б)

Дано:

• $z_1 = 12 — 13i$
• $z_2 = 3i$

Шаг 1. Вычислим:

$$az_1 = a(12 — 13i) = 12a — 13ai$$

Шаг 2. Прибавим $z_2$:

$$az_1 + z_2 = (12a — 13ai) + 3i$$

Шаг 3. Сгруппируем:

• Действительная часть: $12a$
• Мнимая часть: $-13a + 3$

$$az_1 + z_2 = 12a + (3 — 13a)i$$

Шаг 4. Число чисто мнимое, следовательно:

$$12a = 0 \Rightarrow a = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

в)

Дано:

• $z_1 = 8 + 3i$
• $z_2 = -1 — 2i$

Шаг 1. Найдём:

$$az_1 = a(8 + 3i) = 8a + 3ai$$

Шаг 2. Прибавим $z_2$:

$$az_1 + z_2 = (8a + 3ai) + (-1 — 2i)$$

Шаг 3. Группируем:

• Действительная часть: $8a — 1$
• Мнимая часть: $3a — 2$

$$az_1 + z_2 = (8a — 1) + (3a — 2)i$$

Шаг 4. Требуемое условие:

$$8a — 1 = 0 \Rightarrow 8a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{8} = 0{,}125$$

Ответ: $\boxed{0{,}125}$

г)

Дано:

• $z_1 = i$
• $z_2 = -1 + 2i$

Шаг 1. Запишем $az_1$:

$$az_1 = a \cdot i = ai$$

Шаг 2. Прибавим $z_2$:

$$az_1 + z_2 = ai + (-1 + 2i) = -1 + (a + 2)i$$

Шаг 3. Действительная часть: $-1$

Но по условию она должна быть равна нулю:

$$-1 = 0 \quad \text{— противоречие}$$

Следовательно, такого значения $a$, при котором сумма будет чисто мнимым числом, не существует.

Ответ: $\boxed{\text{нет}}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{-2}$
б) $\boxed{0}$
в) $\boxed{0{,}125}$
г) $\boxed{\text{нет}}$