ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите действительные числа $a$ и $b$, для которых верно равенство $z = az_1 + bz_2$, если:

а) $z_1 = 1$, $z_2 = 1 + i$, $z = 5 + 2i$;

б) $z_1 = -2 + i$, $z_2 = 3 — i$, $z = i$;

в) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 — i$, $z = 3 + 5i$;

г) $z_1 = 4 — i$, $z_2 = -7 + 2i$, $z = 1$

Вот переписанный точный текст задачи 32.18, без добавлений и изменений:

Найти действительные числа $a$ и $b$, для которых верно равенство $z = az_1 + bz_2$, если:

а) $z_1 = 1$, $z_2 = 1 + i$, $z = 5 + 2i$;

$$az_1 = a;$$ $$bz_2 = b(1 + i) = b + bi;$$ $$az_1 + bz_2 = a + (b + bi) = (a + b) + bi;$$ $$\begin{cases} a + b = 5 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + b = 5 \\ b = 2 \end{cases};$$ $$a + 2 = 5;$$ $$a = 3;$$

Ответ: $a = 3$; $b = 2$.

б) $z_1 = -2 + i$, $z_2 = 3 — i$, $z = i$;

$$az_1 = a(-2 + i) = -2a + ai;$$ $$bz_2 = b(3 — i) = 3b — bi;$$ $$az_1 + bz_2 = (-2a + ai) + (3b — bi) = (3b — 2a) + (a — b)i;$$ $$\begin{cases} 3b — 2a = 0 \\ a — b = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3b = 2a \\ a = b + 1 \end{cases};$$ $$3b = 2(b + 1);$$ $$3b = 2b + 2;$$ $$b = 2;$$ $$a = 2 + 1 = 3;$$

Ответ: $a = 3$; $b = 2$.

в) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 — i$, $z = 3 + 5i$;

$$az_1 = a(1 + i) = a + ai;$$ $$bz_2 = b(1 — i) = b — bi;$$ $$az_1 + bz_2 = (a + ai) + (b — bi) = (a + b) + (a — b)i;$$ $$\begin{cases} a + b = 3 \\ a — b = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + b = 3 \\ a = 5 + b \end{cases};$$ $$(5 + b) + b = 3;$$ $$2b = -2;$$ $$b = -1;$$ $$a = 5 — 1 = 4;$$

Ответ: $a = 4$; $b = -1$.

г) $z_1 = 4 — i$, $z_2 = -7 + 2i$, $z = 1$;

$$az_1 = a(4 — i) = 4a — ai;$$ $$bz_2 = b(-7 + 2i) = -7b + 2bi;$$ $$az_1 + bz_2 = (4a — ai) + (-7b + 2bi) = (4a — 7b) + (2b — a)i;$$ $$\begin{cases} 4a — 7b = 1 \\ 2b — a = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4a — 7b = 1 \\ a = 2b \end{cases};$$ $$4(2b) — 7b = 1;$$ $$8b + 7b = 1;$$ $$b = 1;$$ $$a = 2 \cdot 1 = 2;$$

Ответ: $a = 2$; $b = 1$.

Найти действительные числа $a$ и $b$, для которых выполняется равенство

$$z = a z_1 + b z_2,$$

где $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}$, а $a, b \in \mathbb{R}$.

Это означает: разложить комплексное число $z$ по линейной комбинации двух других комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ с действительными коэффициентами.

а)

Дано:

$$z_1 = 1,\quad z_2 = 1 + i,\quad z = 5 + 2i$$

Шаг 1. Распишем $az_1$:

$$az_1 = a \cdot 1 = a$$

Так как $z_1$ — действительное число, то произведение $az_1$ — тоже действительное.

Шаг 2. Распишем $bz_2$:

$$bz_2 = b(1 + i) = b \cdot 1 + b \cdot i = b + bi$$

Здесь $b \in \mathbb{R}$, значит $bz_2$ — комплексное число с действительной частью $b$, мнимой частью $bi$.

Шаг 3. Найдём сумму $az_1 + bz_2$:

$$az_1 + bz_2 = a + (b + bi) = (a + b) + bi$$

Теперь это выражение должно быть равно $z = 5 + 2i$. Приравниваем по частям:

• Действительная часть: $a + b = 5$
• Мнимая часть: $b = 2$

Шаг 4. Решим систему:

$$\begin{cases} a + b = 5 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow a = 5 — b = 5 — 2 = 3$$

Ответ:

$$\boxed{a = 3;\quad b = 2}$$

б)

Дано:

$$z_1 = -2 + i,\quad z_2 = 3 — i,\quad z = i$$

Шаг 1. Распишем $az_1$:

$$az_1 = a(-2 + i) = -2a + ai$$

Действительная часть: $-2a$,
Мнимая часть: $ai$

Шаг 2. Распишем $bz_2$:

$$bz_2 = b(3 — i) = 3b — bi$$

Действительная часть: $3b$,
Мнимая часть: $-bi$

Шаг 3. Сложим:

$$az_1 + bz_2 = (-2a + ai) + (3b — bi) = (3b — 2a) + (a — b)i$$

Сравниваем с $z = i = 0 + 1i$. Приравниваем части:

$$\begin{cases} 3b — 2a = 0 \quad \text{(действительная)} \\ a — b = 1 \quad \text{(мнимая)} \end{cases}$$

Шаг 4. Решим систему:

Из второго уравнения:

$$a = b + 1$$

Подставим в первое:

$$3b — 2(b + 1) = 0 \Rightarrow 3b — 2b — 2 = 0 \Rightarrow b = 2$$

Теперь найдём $a$:

$$a = b + 1 = 2 + 1 = 3$$

Ответ:

$$\boxed{a = 3;\quad b = 2}$$

в)

Дано:

$$z_1 = 1 + i,\quad z_2 = 1 — i,\quad z = 3 + 5i$$

Шаг 1. Распишем $az_1$:

$$az_1 = a(1 + i) = a + ai$$

Шаг 2. Распишем $bz_2$:

$$bz_2 = b(1 — i) = b — bi$$

Шаг 3. Найдём сумму:

$$az_1 + bz_2 = (a + ai) + (b — bi) = (a + b) + (a — b)i$$

Сравниваем с $z = 3 + 5i$. Приравниваем части:

$$\begin{cases} a + b = 3 \\ a — b = 5 \end{cases}$$

Шаг 4. Решим систему:

Из второго уравнения:

$$a = 5 + b$$

Подставим в первое:

$$(5 + b) + b = 3 \Rightarrow 5 + 2b = 3 \Rightarrow 2b = -2 \Rightarrow b = -1$$

Теперь найдём $a$:

$$a = 5 + (-1) = 4$$

Ответ:

$$\boxed{a = 4;\quad b = -1}$$

г)

Дано:

$$z_1 = 4 — i,\quad z_2 = -7 + 2i,\quad z = 1$$

Шаг 1. Распишем $az_1$:

$$az_1 = a(4 — i) = 4a — ai$$

Шаг 2. Распишем $bz_2$:

$$bz_2 = b(-7 + 2i) = -7b + 2bi$$

Шаг 3. Сложим:

$$az_1 + bz_2 = (4a — ai) + (-7b + 2bi) = (4a — 7b) + (2b — a)i$$

Сравниваем с $z = 1 + 0i$:

$$\begin{cases} 4a — 7b = 1 \\ 2b — a = 0 \end{cases}$$

Шаг 4. Решим систему:

Из второго уравнения:

$$a = 2b$$

Подставим в первое:

$$4(2b) — 7b = 1 \Rightarrow 8b — 7b = 1 \Rightarrow b = 1$$

Теперь найдём $a$:

$$a = 2 \cdot 1 = 2$$

Ответ:

$$\boxed{a = 2;\quad b = 1}$$