ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $(1+i{)}^2$

б) $(1-i{)}^3$

в) $(2+i{)}^5$$$

г) $(1+i{)}^3+(1-i{)}^2$

а) $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i — 1 = 2i$;
Ответ: $2i$.

б) $(1 — i)^3 = 1 — 3i + 3i^2 — i^2 \cdot i = 1 — 3i — 3 + i = -2 — 2i$;
Ответ: $-2 — 2i$.

в) $(2 + i)^5 = (2 + i)^3(2 + i)^2 = (8 + 3 \cdot 4i + 3 \cdot 2i^2 + i^3)(4 + 4i + i^2) =$
$= (8 + 12i — 6 — i)(4 + 4i — 1) = (2 + 11i)(3 + 4i) =$
$= 6 + 8i + 33i + 44i^2 = 6 + 41i — 44 = -38 + 41i$;
Ответ: $-38 + 41i$.

г) $(1 + i)^3 + (1 — i)^2 = (1 + 3i + 3i^2 + i^2 \cdot i) + (1 — 2i + i^2) =$
$= (1 + 3i — 3 — i) + (1 — 2i — 1) = (-2 + 2i) — 2i = -2$;
Ответ: $-2$.

а) $(1 + i)^2$

Раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2$$

• $1^2 = 1$.
• $2 \cdot 1 \cdot i = 2i$.
• $i^2$ по определению равно $-1$.

Подставим результаты обратно:

$$(1 + i)^2 = 1 + 2i — 1$$

Сложим подобные члены ($1 — 1$):

$$(1 + i)^2 = 2i$$

Ответ: $2i$.

б) $(1 — i)^3$

Раскроем куб разности по формуле $(a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3$:

$$(1 — i)^3 = 1^3 — 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 — i^3$$

Посчитаем по шагам:

• $1^3 = 1$.
• $-3 \cdot 1^2 \cdot i = -3i$.
• $3 \cdot 1 \cdot i^2 = 3 \cdot (-1) = -3$, так как $i^2 = -1$.
• $— i^3 = — (i^2 \cdot i) = -( -1 \cdot i ) = + i$.

Подставим обратно результаты вычислений:

$$(1 — i)^3 = 1 — 3i — 3 + i$$

Сгруппируем и сложим подобные члены ($1 — 3$ и $-3i + i$):

$$(1 — i)^3 = -2 — 2i$$

Ответ: $-2 — 2i$.

в) $(2 + i)^5$

Представим $(2 + i)^5$ как произведение $(2 + i)^3$ и $(2 + i)^2$:

$$(2 + i)^5 = (2 + i)^3 \cdot (2 + i)^2$$

Шаг 1. Сначала найдём отдельно $(2 + i)^3$:

Используем формулу $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3$:

$$(2 + i)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3$$

Вычисляем детально:

• $2^3 = 8$.
• $3 \cdot 2^2 \cdot i = 3 \cdot 4 \cdot i = 12i$.
• $3 \cdot 2 \cdot i^2 = 6 \cdot (-1) = -6$.
• $i^3 = i^2 \cdot i = (-1)\cdot i = -i$.

Таким образом,

$$(2 + i)^3 = 8 + 12i — 6 — i = 2 + 11i$$

Шаг 2. Теперь найдём $(2 + i)^2$:

Используем формулу квадрата суммы:

$$(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2$$

Вычисляем детально:

• $2^2 = 4$.
• $2 \cdot 2 \cdot i = 4i$.
• $i^2 = -1$.

Таким образом,

$$(2 + i)^2 = 4 + 4i — 1 = 3 + 4i$$

Шаг 3. Теперь найдём произведение $(2 + 11i)(3 + 4i)$:

Раскроем скобки:

$$(2 + 11i)(3 + 4i) = 2\cdot 3 + 2\cdot 4i + 11i\cdot 3 + 11i\cdot 4i$$

Посчитаем отдельно:

• $2 \cdot 3 = 6$.
• $2 \cdot 4i = 8i$.
• $11i \cdot 3 = 33i$.
• $11i \cdot 4i = 44i^2 = 44 \cdot (-1) = -44$.

Таким образом,

$$(2 + 11i)(3 + 4i) = 6 + 8i + 33i — 44$$

Сложим подобные члены ($6 — 44$ и $8i + 33i$):

$$(2 + 11i)(3 + 4i) = -38 + 41i$$

Ответ: $-38 + 41i$.

г) $(1 + i)^3 + (1 — i)^2$

Посчитаем каждую скобку отдельно.

Первая скобка: $(1 + i)^3$:

Используем формулу $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$$(1 + i)^3 = 1^3 + 3\cdot 1^2 \cdot i + 3\cdot 1 \cdot i^2 + i^3$$

Детальные вычисления:

• $1^3 = 1$.
• $3\cdot 1^2 \cdot i = 3i$.
• $3\cdot 1 \cdot i^2 = 3 \cdot (-1) = -3$.
• $i^3 = i^2 \cdot i = (-1)\cdot i = -i$.

Итого:

$$(1 + i)^3 = 1 + 3i — 3 — i = -2 + 2i$$

Вторая скобка: $(1 — i)^2$:

Используем формулу квадрата разности:

$$(1 — i)^2 = 1^2 — 2\cdot 1\cdot i + i^2$$

Считаем детально:

• $1^2 = 1$.
• $-2\cdot 1\cdot i = -2i$.
• $i^2 = -1$.

Итого:

$$(1 — i)^2 = 1 — 2i — 1 = -2i$$

Теперь складываем полученные результаты обеих скобок:

$$(1 + i)^3 + (1 — i)^2 = (-2 + 2i) + (-2i)$$

Сложим подобные члены:

• Реальная часть: $-2$.
• Мнимая часть: $2i — 2i = 0$.

Получаем итог:

$$(1 + i)^3 + (1 — i)^2 = -2$$

Ответ: $-2$.

Итоговые ответы по всем пунктам:

а) $2i$

б) $-2 — 2i$

в) $-38 + 41i$

г) $-2$