ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $iz = 1$;

б) $(1 + i)z = 1$;

в) $(1 + i)z = i$;

г) $(1 + i)z = 1 — i$

а) $iz = 1$;

$$z = \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i;$$

Ответ: $-i$.

б) $(1 + i)z = 1$;

$$z = \frac{1}{1 + i} = \frac{1 — i}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{1 — i}{1 — i^2} = \frac{1 — i}{2} = 0,5 — 0,5i;$$

Ответ: $0,5 — 0,5i$.

в) $(1 + i)z = i$;

$$z = \frac{i}{1 + i} = \frac{i(1 — i)}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{i — i^2}{1 — i^2} = \frac{i + 1}{1 + 1} = \frac{1 + i}{2} = 0,5 + 0,5i;$$

Ответ: $0,5 + 0,5i$.

г) $(1 + i)z = 1 — i$;

$$z = \frac{1 — i}{1 + i} = \frac{(1 — i)^2}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{1 — 2i + i^2}{1 — i^2} = \frac{1 — 2i — 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i;$$

Ответ: $-i$.

а) Решить уравнение: $iz = 1$

Решение по шагам:

Имеем уравнение:

$$iz = 1$$

Чтобы найти $z$, разделим обе части на $i$:

$$z = \frac{1}{i}$$

Избавимся от мнимой единицы в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$z = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2}$$

Используем известный факт, что $i^2 = -1$:

$$z = \frac{i}{-1} = -i$$

Ответ: $-i$

б) Решить уравнение: $(1 + i)z = 1$

Решение по шагам:

Имеем уравнение:

$$(1 + i)z = 1$$

Выразим $z$:

$$z = \frac{1}{1 + i}$$

Для избавления от комплексного знаменателя умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(1 — i)$:

$$z = \frac{1 \cdot (1 — i)}{(1 + i)(1 — i)}$$

Раскроем скобки в знаменателе по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 — b^2$:

• Числитель остаётся без изменений: $1 — i$
• Знаменатель: $(1)^2 — (i)^2 = 1 — i^2$

Получим выражение:

$$z = \frac{1 — i}{1 — i^2}$$

Заменим $i^2$ на $-1$:

$$z = \frac{1 — i}{1 — (-1)} = \frac{1 — i}{1 + 1} = \frac{1 — i}{2}$$

Разделим на 2:

$$z = \frac{1}{2} — \frac{i}{2} = 0,5 — 0,5i$$

Ответ: $0,5 — 0,5i$

в) Решить уравнение: $(1 + i)z = i$

Решение по шагам:

Имеем уравнение:

$$(1 + i)z = i$$

Выразим $z$:

$$z = \frac{i}{1 + i}$$

Чтобы избавиться от комплексного знаменателя, снова умножим числитель и знаменатель на сопряжённое $(1 — i)$:

$$z = \frac{i(1 — i)}{(1 + i)(1 — i)}$$

Раскроем скобки отдельно в числителе и знаменателе:

• Числитель:

$$i(1 — i) = i — i^2$$

• Знаменатель: (по формуле разности квадратов)

$$(1 + i)(1 — i) = 1^2 — i^2 = 1 — i^2$$

Подставим обратно:

$$z = \frac{i — i^2}{1 — i^2}$$

Используем факт $i^2 = -1$:

• Числитель: $i — (-1) = i + 1 = 1 + i$
• Знаменатель: $1 — (-1) = 1 + 1 = 2$

Получаем:

$$z = \frac{1 + i}{2}$$

Разделим на 2:

$$z = 0,5 + 0,5i$$

Ответ: $0,5 + 0,5i$

г) Решить уравнение: $(1 + i)z = 1 — i$

Решение по шагам:

Имеем уравнение:

$$(1 + i)z = 1 — i$$

Выразим $z$:

$$z = \frac{1 — i}{1 + i}$$

Чтобы избавиться от комплексного знаменателя, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $(1 — i)$:

$$z = \frac{(1 — i)(1 — i)}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{(1 — i)^2}{1^2 — i^2}$$

Раскроем скобки отдельно в числителе и знаменателе:

• Числитель (квадрат разности $(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$):

$$(1 — i)^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 — 2i + i^2$$

Используем $i^2 = -1$:

$$1 — 2i + (-1) = 1 — 2i — 1 = -2i$$

Числитель = $-2i$.

• Знаменатель:

$$1^2 — i^2 = 1 — (-1) = 1 + 1 = 2$$

Таким образом, получаем дробь:

$$z = \frac{-2i}{2}$$

Сократим дробь на 2:

$$z = -i$$

Ответ: $-i$

Итоговые ответы ко всем пунктам:

а) $-i$

б) $0,5 — 0,5i$

в) $0,5 + 0,5i$

г) $-i$