ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\frac{1}{i}$

б) $\frac{1-i}{i}$

в) $\frac{1-i}{1+i}$

г) $\frac{1+i}{1-i}$

а) $\frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$;
Ответ: $-i$.

б) $\frac{1 — i}{i} = \frac{i(1 — i)}{i^2} = \frac{i — i^2}{-1} = -(i + 1) = -1 — i$;
Ответ: $-1 — i$.

в) $\frac{1 — i}{1 + i} = \frac{(1 — i)^2}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{1 — 2i + i^2}{1 — i^2} = \frac{1 — 2i — 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i$;
Ответ: $-i$.

г) $\frac{1 + i}{1 — i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 — i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 — i^2} = \frac{1 + 2i — 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$;
Ответ: $i$.

а) Вычислить:

$$\frac{1}{i}$$

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное (здесь это просто $i$):

$$\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2}$$

Шаг 2: Заменим $i^2$ на $-1$, т.к. по определению $i^2 = -1$:

$$= \frac{i}{-1} = -i$$

Ответ: $\boxed{-i}$

б) Вычислить:

$$\frac{1 — i}{i}$$

Шаг 1: Представим дробь:

$$\frac{1 — i}{i}$$

Для удобства избавимся от мнимого числа в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряжённое к $i$, то есть на $i$:

$$\frac{1 — i}{i} = \frac{(1 — i) \cdot i}{i \cdot i}$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе:

$$(1 — i) \cdot i = 1 \cdot i — i \cdot i = i — i^2$$

Шаг 3: Подставим $i^2 = -1$:

$$i — (-1) = i + 1$$

Шаг 4: Подставим в исходную дробь:

$$\frac{i — i^2}{i^2} = \frac{i + 1}{-1} = — (i + 1)$$

Итог:

$$— (i + 1) = -1 — i$$

Ответ: $\boxed{-1 — i}$

в) Вычислить:

$$\frac{1 — i}{1 + i}$$

Шаг 1: Избавимся от мнимости в знаменателе, домножив на сопряжённое к $1 + i$, т.е. на $1 — i$:

$$\frac{1 — i}{1 + i} = \frac{(1 — i)^2}{(1 + i)(1 — i)}$$

Шаг 2: Найдём числитель:

$$(1 — i)^2 = 1^2 — 2i + i^2 = 1 — 2i + (-1) = 0 — 2i = -2i$$

Шаг 3: Найдём знаменатель:

$$(1 + i)(1 — i) = 1^2 — i^2 = 1 — (-1) = 1 + 1 = 2$$

Шаг 4: Подставим числитель и знаменатель:

$$\frac{-2i}{2} = -i$$

Ответ: $\boxed{-i}$

г) Вычислить:

$$\frac{1 + i}{1 — i}$$

Шаг 1: Избавимся от мнимости в знаменателе, домножив на сопряжённое к $1 — i$, т.е. на $1 + i$:

$$\frac{1 + i}{1 — i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 — i)(1 + i)}$$

Шаг 2: Найдём числитель:

$$(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 0 + 2i = 2i$$

Шаг 3: Найдём знаменатель:

$$(1 — i)(1 + i) = 1^2 — i^2 = 1 — (-1) = 1 + 1 = 2$$

Шаг 4: Подставим:

$$\frac{2i}{2} = i$$

Ответ: $\boxed{i}$

Все ответы:

а) $\frac{1}{i} = \boxed{-i}$

б) $\frac{1 — i}{i} = \boxed{-1 — i}$

в) $\frac{1 — i}{1 + i} = \boxed{-i}$

г) $\frac{1 + i}{1 — i} = \boxed{i}$