ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

a) $((i:(1+i)):(1+2i)):(1+3i)$

б) $i:((1+i):((1+2i):(1+3i)))$

a) $\left((i:(1+i)):(1+2i)\right):(1+3i)=\left(\frac{i+1}{2}:(1+2i)\right):(1+3i)=$

$$=\frac{3-i}{10}:(1+3i)=-\frac{i}{10}=-0,1i;$$

$\frac{i}{1+i}=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^2}{1-i^2}=\frac{i+1}{1+1}=\frac{i+1}{2}$;

$\frac{i+1}{2(1+2i)}=\frac{(i+1)(1-2i)}{2(1-4i^2)}=\frac{i-2i^2+1-2i}{2(1+4)}=\frac{1-i+2}{2\cdot5}=\frac{3-i}{10}$;

$\frac{3-i}{10(1+3i)}=\frac{(3-i)(1-3i)}{10(1-9i^2)}=\frac{3-9i-i+3i^2}{10(1+9)}=\frac{3-10i-3}{10\cdot10}=\frac{-i}{10}$;

Ответ: $-0,1i$.

б) $i:\left((1+i):((1+2i):(1+3i))\right)=i:\left((1+i)\cdot\frac{10}{7-i}\right)=\frac{i\cdot5}{6+8i}=$

$$=\frac{4+3i}{10}=0,4+0,3i;$$

$\frac{1+2i}{1+3i}=\frac{(1+2i)(1-3i)}{1-9i^2}=\frac{1-3i+2i-6i^2}{1+9}=\frac{1-i+6}{10}=\frac{7-i}{10}$;

$\frac{10(1+i)}{7-i}=\frac{10(1+i)(7+i)}{49-i^2}=\frac{10(7+i+7i+i^2)}{49+1}=\frac{6+8i}{5}$;

$\frac{5i}{6+8i}=\frac{5i(6-8i)}{36-64i^2}=\frac{30i-40i^2}{36+64}=\frac{30i+40}{100}=\frac{4+3i}{10}$;

Ответ: $0,4+0,3i$.

а) Вычислим выражение:

$$\left(\left(i : (1 + i)\right) : (1 + 2i)\right) : (1 + 3i)$$

Шаг 1. Вычисляем $\frac{i}{1+i}$

Чтобы избавиться от мнимого числа в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число $1 — i$:

$$\frac{i}{1+i} = \frac{i \cdot (1 — i)}{(1+i)(1-i)}$$

Считаем числитель:

$$i(1 — i) = i — i^2 = i — (-1) = i + 1$$

Считаем знаменатель:

$$(1+i)(1-i) = 1^2 — i^2 = 1 — (-1) = 1 + 1 = 2$$

Итак:

$$\frac{i}{1+i} = \frac{i + 1}{2}$$

Шаг 2. Теперь делим полученный результат на $1 + 2i$:

$$\frac{\frac{i+1}{2}}{1+2i} = \frac{i+1}{2(1+2i)}$$

Опять домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю: $1 — 2i$

$$\frac{(i+1)(1-2i)}{2(1+2i)(1-2i)}$$

Числитель:

$$(i+1)(1 — 2i) = i(1) + i(-2i) + 1(1) + 1(-2i) = i — 2i^2 + 1 — 2i$$

Подставим $i^2 = -1$:

$$i — 2(-1) + 1 — 2i = i + 2 + 1 — 2i = (1 — i) + 2 = 3 — i$$

Знаменатель:

$$2 \cdot ((1+2i)(1-2i)) = 2 \cdot (1 — 4i^2) = 2 \cdot (1 + 4) = 2 \cdot 5 = 10$$

Итак:

$$\frac{i+1}{2(1+2i)} = \frac{3 — i}{10}$$

Шаг 3. Делим результат на $1 + 3i$:

$$\frac{3 — i}{10(1 + 3i)} = \frac{3 — i}{10(1 + 3i)}$$

Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к $1 + 3i$, т.е. $1 — 3i$:

$$\frac{(3 — i)(1 — 3i)}{10(1 + 3i)(1 — 3i)}$$

Распишем числитель:

$$(3 — i)(1 — 3i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-3i) + (-i) \cdot 1 + (-i)(-3i) = 3 — 9i — i + 3i^2$$

Подставляем $i^2 = -1$:

$$3 — 10i + 3(-1) = 3 — 10i — 3 = -10i$$

Знаменатель:

$$10 \cdot ((1 + 3i)(1 — 3i)) = 10 \cdot (1 — 9i^2) = 10 \cdot (1 + 9) = 100$$

Итак:

$$\frac{3 — i}{10(1 + 3i)} = \frac{-10i}{100} = -\frac{i}{10}$$

Ответ к а):

$$-\frac{i}{10} = -0{,}1i$$

б) Вычисляем:

$$i : \left((1+i) : \left(\frac{1+2i}{1+3i}\right)\right)$$

Шаг 1. Сначала считаем $\frac{1 + 2i}{1 + 3i}$

Домножим на сопряжённое к $1 + 3i$, то есть на $1 — 3i$:

$$\frac{(1 + 2i)(1 — 3i)}{(1 + 3i)(1 — 3i)}$$

Числитель:

$$1 \cdot 1 + 1 \cdot (-3i) + 2i \cdot 1 + 2i \cdot (-3i) = 1 — 3i + 2i — 6i^2$$

Подставим $i^2 = -1$:

$$1 — i + 6 = 7 — i$$

Знаменатель:

$$1^2 — 9i^2 = 1 — (-9) = 1 + 9 = 10$$

Итак:

$$\frac{1 + 2i}{1 + 3i} = \frac{7 — i}{10}$$

Шаг 2. Теперь выражение: $(1 + i) : \left(\frac{7 — i}{10}\right)$

Это деление на дробь = умножение на обратную дробь:

$$(1 + i) \cdot \frac{10}{7 — i}$$

Распишем числитель:

$$10 \cdot (1 + i) = 10 + 10i$$

Теперь домножим на сопряжённое к $7 — i$: это $7 + i$

$$\frac{10(1 + i)}{7 — i} = \frac{10(1 + i)(7 + i)}{(7 — i)(7 + i)}$$

В числителе:

$$(1 + i)(7 + i) = 1 \cdot 7 + 1 \cdot i + i \cdot 7 + i \cdot i = 7 + i + 7i + i^2 = 7 + 8i — 1 = 6 + 8i$$ $$10(6 + 8i) = 60 + 80i$$

Знаменатель:

$$(7 — i)(7 + i) = 49 + i^2 = 49 — 1 = 48$$

Итак:

$$\frac{10(1 + i)}{7 — i} = \frac{60 + 80i}{48} = \frac{6 + 8i}{5}$$

Шаг 3. Теперь:

$$i : \left(\frac{6 + 8i}{5}\right) = \frac{i}{\frac{6 + 8i}{5}} = i \cdot \frac{5}{6 + 8i} = \frac{5i}{6 + 8i}$$

Домножим на сопряжённое: $6 — 8i$

$$\frac{5i(6 — 8i)}{(6 + 8i)(6 — 8i)}$$

Числитель:

$$5i(6 — 8i) = 30i — 40i^2 = 30i + 40$$

Знаменатель:

$$6^2 — (8i)^2 = 36 — (-64) = 100$$

Итак:

$$\frac{30i + 40}{100} = \frac{40 + 30i}{100} = \frac{4 + 3i}{10}$$

Ответ к б):

$$\frac{4 + 3i}{10} = 0{,}4 + 0{,}3i$$

Финальные ответы:

а) $-0{,}1i$
б) $0{,}4 + 0{,}3i$