ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $iz = (1 — i)$;

б) $(1 + i)z = (1 — i)$;

в) $(1 + i)z = i$;

г) $(1 + i)^2 z = (1 — i)^3$

а) $iz = (1 — i)$;

$$z = \frac{1 — i}{i} = \frac{(1 — i)i}{i^2} = \frac{i — i^2}{-1} = -(i + 1) = -1 — i;$$

Ответ: $-1 — i$.

б) $(1 + i)z = (1 — i)$;

$$z = \frac{1 — i}{1 + i} = \frac{(1 — i)^2}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{1 — 2i + i^2}{1 — i^2} = \frac{1 — 2i — 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i;$$

Ответ: $-i$.

в) $(1 + i)z = i$;

$$z = \frac{i}{1 + i} = \frac{i(1 — i)}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{i — i^2}{1 — i^2} = \frac{i + 1}{1 + 1} = \frac{1 + i}{2} = 0,5 + 0,5i;$$

Ответ: $0,5 + 0,5i$.

г) $(1 + i)^2 z = (1 — i)^3$;

$$z = \frac{(1 — i)^3}{(1 + i)^2} = \frac{1 — 3i + 3i^2 — i^2 \cdot i}{1 + 2i + i^2} = \frac{1 — 3i — 3 + i}{1 + 2i — 1} = \frac{-2 — 2i}{2i};$$ $$z = \frac{-1 — i}{i} = \frac{(1 — i)i}{i^2} = \frac{-i — i^2}{-1} = -( -i + 1 ) = -1 + i;$$

Ответ: $-1 + i$.

а) Уравнение:

$$iz = 1 — i$$

Шаг 1. Выразим $z$:

$$z = \frac{1 — i}{i}$$

Шаг 2. Убираем мнимое число из знаменателя. Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю $i^*$, то есть просто $i$, так как $i$ — мнимая единица и сопряжённое к ней — это $-i$, но тут удобно использовать $i$ прямо:

$$\frac{1 — i}{i} = \frac{(1 — i)i}{i \cdot i}$$

Шаг 3. Раскрываем скобки в числителе:

$$(1 — i)i = 1 \cdot i — i \cdot i = i — i^2$$

Знаем, что:

$$i^2 = -1 \Rightarrow i — (-1) = i + 1$$

Шаг 4. Теперь подставим это в дробь:

$$z = \frac{i + 1}{i^2} = \frac{i + 1}{-1} = -(i + 1)$$

Шаг 5. Приведём к стандартному виду:

$$-(i + 1) = -1 — i$$

Ответ: $-1 — i$

б) Уравнение:

$$(1 + i)z = 1 — i$$

Шаг 1. Выразим $z$:

$$z = \frac{1 — i}{1 + i}$$

Шаг 2. Избавляемся от мнимого числа в знаменателе — домножаем на сопряжённое:

$$\frac{1 — i}{1 + i} = \frac{(1 — i)^2}{(1 + i)(1 — i)}$$

Шаг 3. Раскрываем числитель:

$$(1 — i)^2 = 1^2 — 2i + i^2 = 1 — 2i — 1 = -2i$$

Пояснение:

• $1^2 = 1$
• $i^2 = -1$
• Получаем: $1 — 2i — 1 = -2i$

Шаг 4. Раскрываем знаменатель:

$$(1 + i)(1 — i) = 1^2 — i^2 = 1 — (-1) = 2$$

Шаг 5. Записываем дробь:

$$z = \frac{-2i}{2} = -i$$

Ответ: $-i$

в) Уравнение:

$$(1 + i)z = i$$

Шаг 1. Выразим $z$:

$$z = \frac{i}{1 + i}$$

Шаг 2. Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю $1 — i$:

$$\frac{i}{1 + i} = \frac{i(1 — i)}{(1 + i)(1 — i)}$$

Шаг 3. Раскрываем числитель:

$$i(1 — i) = i — i^2 = i — (-1) = i + 1 = 1 + i$$

Шаг 4. Раскрываем знаменатель:

$$(1 + i)(1 — i) = 1^2 — i^2 = 1 + 1 = 2$$

Шаг 5. Записываем результат:

$$z = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2} = 0{,}5 + 0{,}5i$$

Ответ: $0{,}5 + 0{,}5i$

г) Уравнение:

$$(1 + i)^2 z = (1 — i)^3$$

Шаг 1. Выразим $z$:

$$z = \frac{(1 — i)^3}{(1 + i)^2}$$

Шаг 2. Сначала найдём $(1 — i)^3$:

Это биномиальный куб:

$$(1 — i)^3 = (1 — i)(1 — i)(1 — i)$$

Выполним поэтапно:

• Сначала квадрат:

$$(1 — i)^2 = 1^2 — 2i + i^2 = 1 — 2i — 1 = -2i$$

• Теперь умножаем на ещё $1 — i$:

$$(1 — i)^3 = (-2i)(1 — i) = -2i + 2i^2 = -2i + 2(-1) = -2i — 2$$

Итак:

$$(1 — i)^3 = -2 — 2i$$

Шаг 3. Теперь найдём $(1 + i)^2$:

$$(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i — 1 = 2i$$

Шаг 4. Запишем $z$:

$$z = \frac{-2 — 2i}{2i}$$

Можно разделить числитель на знаменатель по частям:

$$z = \frac{-2}{2i} + \frac{-2i}{2i} = \frac{-1}{i} — 1$$

Шаг 5. Вычислим $\frac{-1}{i}$:

Домножим на сопряжённое:

$$\frac{-1}{i} = \frac{-1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$$

Пояснение:

• $i^2 = -1 \Rightarrow -i^2 = 1$

Шаг 6. Тогда:

$$z = i — 1 = -1 + i$$

Ответ: $-1 + i$

Финальные ответы:

а) $z = -1 — i$

б) $z = -i$

в) $z = 0{,}5 + 0{,}5i$

г) $z = -1 + i$