ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения 2х² + 4х + а = 0:

a) оба корня целые, но не натуральные числа;

б) оба корня рациональные, но не целые числа;

в) оба корня действительные, но не рациональные числа;

г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет.

Указать хотя бы одно значение параметра $a$, при котором у уравнения

$$2x^2 + 4x + a = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot a = 16 — 8a = 16(1 — 0{,}5a),$$

тогда:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16(1 — 0{,}5a)}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{1 — 0{,}5a}}{4} = -1 \pm \sqrt{1 — 0{,}5a};$$

а) Оба корня целые, но не натуральные числа:

$$\sqrt{1 — 0{,}5a} = 1;$$ $$1 — 0{,}5a = 1;$$ $$0{,}5a = 0;$$ $$a = 0;$$

б) Оба корня рациональные, но не целые числа:

$$\sqrt{1 — 0{,}5a} = 0{,}5;$$ $$1 — 0{,}5a \neq 0{,}25;$$ $$4 — 2a = 1;$$ $$2a = 3;$$ $$a = \frac{3}{2} = 1{,}5;$$

в) Оба корня действительные, но не рациональные числа:

$$\sqrt{1 — 0{,}5a} = \sqrt{2};$$ $$1 — 0{,}5a = 2;$$ $$0{,}5a = -1;$$ $$a = -2;$$

г) Указать все значения $a$, при которых действительных корней нет:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot a = 16 — 8a;$$ $$16 — 8a < 0;$$ $$8a > 16;$$ $$a > 2;$$

Указать хотя бы одно значение параметра $a$, при котором у уравнения

$$2x^2 + 4x + a = 0$$

выполняются следующие условия:

Общий вид квадратного уравнения:

$$2x^2 + 4x + a = 0$$

Это квадратное уравнение с переменной $x$ и параметром $a$, который влияет на коэффициенты. Чтобы исследовать, какие корни оно имеет (целые, рациональные, иррациональные, отсутствующие и т.д.), воспользуемся дискриминантом.

1. Найдём дискриминант уравнения:

Формула дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$$D = b^2 — 4ac$$

Для нашего уравнения:

• $a = 2$
• $b = 4$
• $c = a$ (маленькая путаница из-за одинаковой буквы, но это нормально — переменная $a$ и параметр $a$ в уравнении не мешают)

Подставим в формулу:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot a = 16 — 8a$$

Выделим множитель:

$$D = 16(1 — 0{,}5a)$$

2. Формула корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16(1 — 0{,}5a)}}{2 \cdot 2}$$

Упростим:

• Корень из $16(1 — 0{,}5a)$ — это $4\sqrt{1 — 0{,}5a}$
• Знаменатель — это $4$

$$x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{1 — 0{,}5a}}{4}$$

Разделим числитель и знаменатель на 4:

$$x = -1 \pm \sqrt{1 — 0{,}5a}$$

Теперь перейдём к анализу по пунктам:

а) Оба корня — целые, но не натуральные числа

Натуральные числа — это положительные целые числа: $1, 2, 3, \ldots$

Значит, нужно, чтобы оба корня были целыми, но не положительными.
Корни имеют вид:

$$x = -1 \pm \sqrt{1 — 0{,}5a}$$

Чтобы корни были целыми:

• $\sqrt{1 — 0{,}5a}$ должно быть целым числом (например, $0, 1, 2, \ldots$)

Рассмотрим:

$$\sqrt{1 — 0{,}5a} = 1$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1 — 0{,}5a = 1$$

Вычтем 1:

$$-0{,}5a = 0$$

Умножим на -2:

$$a = 0$$

Теперь проверим корни:

$$x = -1 \pm \sqrt{1 — 0{,}5 \cdot 0} = -1 \pm \sqrt{1} = -1 \pm 1 \Rightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = -2$$

Оба корня — целые числа: 0 и -2.
Оба не являются натуральными (0 — не натуральное, -2 — отрицательное).
Ответ для пункта а:

$$\boxed{a = 0}$$

б) Оба корня рациональные, но не целые числа

Тогда $\sqrt{1 — 0{,}5a}$ должна быть рациональной, но не целой (например, $0{,}5$)

Пусть:

$$\sqrt{1 — 0{,}5a} = 0{,}5$$

Возводим обе части в квадрат:

$$1 — 0{,}5a = 0{,}25$$

Вычтем из обеих частей 1:

$$-0{,}5a = -0{,}75$$

Умножим на -2:

$$a = 1{,}5$$

Проверим корни:

$$x=-1\pm \sqrt{1-\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{1,5}}=-1\pm \sqrt{1-\mathrm{0,75}}=-1\pm \sqrt{\mathrm{0,25}}=$$

$$x = -1 \pm \sqrt{1 — 0{,}5 \cdot 1{,}5} = -1 \pm \sqrt{1 — 0{,}75} = -1 \pm \sqrt{0{,}25} = -1 \pm 0{,}5 \Rightarrow x_1 = -1{,}5, \quad x_2 = -0{,}5$$

Оба корня — рациональные, но не целые.
Ответ для пункта б:

$$\boxed{a = 1{,}5}$$

в) Оба корня действительные, но не рациональные числа

Тогда $\sqrt{1 — 0{,}5a}$ — иррациональное число, например:

$$\sqrt{1 — 0{,}5a} = \sqrt{2}$$

Возводим в квадрат:

$$1 — 0{,}5a = 2$$

Решаем:

$$-0{,}5a = 1 \Rightarrow a = -2$$

Проверим:

$$x = -1 \pm \sqrt{1 — 0{,}5 \cdot (-2)} = -1 \pm \sqrt{1 + 1} = -1 \pm \sqrt{2}$$

Корни: $-1 + \sqrt{2}$, $-1 — \sqrt{2}$ — действительные, но не рациональные.
Ответ для пункта в:

$$\boxed{a = -2}$$

г) Указать все значения $a$, при которых действительных корней нет

Корни отсутствуют, если дискриминант меньше нуля:

$$D = 16 — 8a < 0$$

Решим неравенство:

$$16 — 8a < 0 \Rightarrow -8a < -16 \Rightarrow a > 2$$

Ответ для пункта г:

$$\boxed{a > 2}$$