ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что число $(b + i\sqrt{a})^3 + (b — i\sqrt{a})^3$ при любых действительных значениях $a \geq 0$ и $b$ является действительным.

б) Вычислите $(2 + i\sqrt{5})^3 + (2 — i\sqrt{5})^3$.

а) Доказать, что данное число является действительным:

$$(b + i\sqrt{a})^3 + (b — i\sqrt{a})^3 =$$ $$= \left(b^3 + 3b^2i\sqrt{a} + 3bi^2a + i^3\sqrt{a^3}\right) + \left(b^3 — 3b^2i\sqrt{a} + 3bi^2a — i^3\sqrt{a^3}\right) =$$ $$= 2b^3 + 6bai^2 = 2b^3 — 6ba;$$

Что и требовалось доказать.

б) Вычислить значение:

$$(2 + i\sqrt{5})^3 + (2 — i\sqrt{5})^3 =$$ $$= \left(8 + 3 \cdot 4i\sqrt{5} + 3 \cdot 2 \cdot 5i^2 + i^3\sqrt{5^3}\right) + \left(8 — 3 \cdot 4i\sqrt{5} + 3 \cdot 2 \cdot 5i^2 — i^3\sqrt{5^3}\right) =$$ $$= 2 \cdot 8 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5i^2 = 16 + 60i^2 = 16 — 60 = -44;$$

Ответ: $-44$.

а) Доказать, что данное число является действительным:

Рассмотрим выражение:

$$(b + i\sqrt{a})^3 + (b — i\sqrt{a})^3$$

Пусть:

• $b \in \mathbb{R}$ — действительное число,
• $a \in \mathbb{R}$, $a > 0$,
• $i$ — мнимая единица, $i^2 = -1$.

Шаг 1: Раскрытие первого куба

Используем формулу куба суммы:

$$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$$

Применим её к $(b + i\sqrt{a})^3$:

• $x = b$,
• $y = i\sqrt{a}$.

$$(b + i\sqrt{a})^3 = b^3 + 3b^2(i\sqrt{a}) + 3b(i\sqrt{a})^2 + (i\sqrt{a})^3$$

Посчитаем каждое слагаемое:

1. $b^3$ — просто $b^3$, так как $b \in \mathbb{R}$
2. $3b^2(i\sqrt{a}) = 3b^2i\sqrt{a}$
3. $3b(i\sqrt{a})^2 = 3b \cdot (i^2 \cdot a) = 3b \cdot (-1) \cdot a = -3ba$
4. $(i\sqrt{a})^3 = i^3 \cdot \sqrt{a}^3 = (i^2 \cdot i) \cdot a\sqrt{a} = (-1 \cdot i) \cdot a\sqrt{a} = -i a\sqrt{a}$

Значит:

$$(b + i\sqrt{a})^3 = b^3 + 3b^2i\sqrt{a} — 3ba — i a\sqrt{a}$$

Шаг 2: Раскрытие второго куба

Теперь аналогично раскроем $(b — i\sqrt{a})^3$. Используем формулу:

$$(x — y)^3 = x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3$$ $$(b — i\sqrt{a})^3 = b^3 — 3b^2i\sqrt{a} — 3ba + i a\sqrt{a}$$

Шаг 3: Складываем два выражения

Сложим полученные кубы:

$$(b + i\sqrt{a})^3 + (b — i\sqrt{a})^3 =$$ $$= \left(b^3 + 3b^2i\sqrt{a} — 3ba — i a\sqrt{a}\right) + \left(b^3 — 3b^2i\sqrt{a} — 3ba + i a\sqrt{a}\right)$$

Теперь сложим почленно:

1. $b^3 + b^3 = 2b^3$
2. $3b^2i\sqrt{a} — 3b^2i\sqrt{a} = 0$
3. $-3ba — 3ba = -6ba$
4. $-i a\sqrt{a} + i a\sqrt{a} = 0$

Итак, результат:

$$2b^3 — 6ba$$

Это выражение — действительное число, так как все переменные $b$ и $a$ действительные, и в результате отсутствуют мнимые части.

Что и требовалось доказать.

б) Вычислить значение:

Рассмотрим выражение:

$$(2 + i\sqrt{5})^3 + (2 — i\sqrt{5})^3$$

Шаг 1: Раскрываем $(2 + i\sqrt{5})^3$

Применим формулу куба суммы:

$$(2 + i\sqrt{5})^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i\sqrt{5} + 3 \cdot 2 \cdot (i\sqrt{5})^2 + (i\sqrt{5})^3$$

Считаем по шагам:

1. $2^3 = 8$
2. $3 \cdot 2^2 \cdot i\sqrt{5} = 3 \cdot 4 \cdot i\sqrt{5} = 12i\sqrt{5}$
3. $(i\sqrt{5})^2 = i^2 \cdot 5 = -5$, поэтому
   $3 \cdot 2 \cdot (i\sqrt{5})^2 = 3 \cdot 2 \cdot (-5) = -30$
4. $(i\sqrt{5})^3 = i^3 \cdot \sqrt{5}^3 = (-i) \cdot 5\sqrt{5} = -5i\sqrt{5}$

Теперь сложим:

$$(2 + i\sqrt{5})^3 = 8 + 12i\sqrt{5} — 30 — 5i\sqrt{5} = (8 — 30) + (12i\sqrt{5} — 5i\sqrt{5}) = -22 + 7i\sqrt{5}$$

Шаг 2: Раскрываем $(2 — i\sqrt{5})^3$

Аналогично:

$$(2 — i\sqrt{5})^3 = 2^3 — 3 \cdot 2^2 \cdot i\sqrt{5} + 3 \cdot 2 \cdot (i\sqrt{5})^2 — (i\sqrt{5})^3$$

Считаем:

1. $2^3 = 8$
2. $-3 \cdot 4 \cdot i\sqrt{5} = -12i\sqrt{5}$
3. $3 \cdot 2 \cdot (-5) = -30$
4. $-(i\sqrt{5})^3 = -(-5i\sqrt{5}) = 5i\sqrt{5}$

Складываем:

$$(2 — i\sqrt{5})^3 = 8 — 12i\sqrt{5} — 30 + 5i\sqrt{5} = (8 — 30) + (-12i\sqrt{5} + 5i\sqrt{5}) = -22 — 7i\sqrt{5}$$

Шаг 3: Складываем два результата

$$(2 + i\sqrt{5})^3 + (2 — i\sqrt{5})^3 = (-22 + 7i\sqrt{5}) + (-22 — 7i\sqrt{5}) = -44 + 0 = -44$$

Ответ:

$$\boxed{-44}$$