ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких действительных значениях $a$ число

$$z=(2-ai{)}^3-(3-ai{)}^2+5+a(1-a^{2}i):$$

а) является действительным;

б) является чисто мнимым?

При каких значениях $a$ число:

$$z=(2-ai{)}^3-(3-ai{)}^2+5+a(1-a^{2}i);$$$$z=(8-3\cdot 4ai+3\cdot 2a^2{i}^2-a^{3}i\cdot i^2)-(9-6ai+a^2{i}^2)+5+a-a^{3}i;$$$$z=(8-12ai-6a^2+a^{3}i)-(9-6ai-a^2)+5+a-a^{3}i;$$$$z=4-6ai-5a^2+a;$$$$z=(-5a^2+a+4)-(6a)i;$$

а) Является действительным:

$$6a=0;$$$$a=0;$$

Ответ: $0$.

б) Является чисто мнимым:

$$-5a^2+a+4=0;$$$$5a^2-a-4=0;$$$$D=1^2+4\cdot 5\cdot 4=1+80=81;$$

тогда:

$$a_1=\frac{1-9}{2\cdot 5}=\frac{-8}{10}=-0.8;$$$$a_2=\frac{1+9}{2\cdot 5}=\frac{10}{10}=1;$$

Ответ: $-0.8;1$.

Рассмотрим выражение:

$$z=(2-ai{)}^3-(3-ai{)}^2+5+a(1-a^{2}i)$$

Шаг 1: Вычислим $(2-ai{)}^3$

Используем формулу:

$$(x-y{)}^3=x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3$$

Пусть $x=2$, $y=ai$

1. $x^3=2^3=8$
2. $3x^{2}y=3\cdot 4\cdot ai=12ai$
3. $3x{y}^2=3\cdot 2\cdot (ai{)}^2=6a^2{i}^2=6a^2(-1)=-6a^2$
4. $y^3=(ai{)}^3=a^3{i}^3=a^3(-i)=-a^{3}i$

Итак:

$$(2-ai{)}^3=8-12ai-6a^2+a^{3}i$$

Шаг 2: Вычислим $(3-ai{)}^2$

Используем формулу:

$$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$$

Пусть $x=3$, $y=ai$

1. $x^2=9$
2. $-2xy=-2\cdot 3\cdot ai=-6ai$
3. $y^2=(ai{)}^2=a^2{i}^2=-a^2$

Итак:

$$(3-ai{)}^2=9-6ai-a^2$$

Шаг 3: Раскроем оставшуюся часть выражения

Осталась последняя часть:

$$a(1-a^{2}i)=a\cdot 1-a\cdot a^{2}i=a-a^{3}i$$

Шаг 4: Соберём всё воедино

Подставим всё в исходное выражение:

$$z=(2-ai{)}^3-(3-ai{)}^2+5+a(1-a^{2}i)$$

Подставим рассчитанные выражения:

$$z=(8-12ai-6a^2+a^{3}i)-(9-6ai-a^2)+5+a-a^{3}i$$

Шаг 5: Раскроем скобки

Раскрываем первую скобку:

$$(8-12ai-6a^2+a^{3}i)$$

Раскрываем вторую скобку со знаком минус:

$$-(9-6ai-a^2)=-9+6ai+a^2$$

Оставшиеся слагаемые:

$$+5+a-a^{3}i$$

Соберём всё:

$$z=8-12ai-6a^2+a^{3}i-9+6ai+a^2+5+a-a^{3}i$$

Шаг 6: Сгруппируем действительные и мнимые части

Действительная часть:

$$8-9+5=4,-6a^2+a^2=-5a^2,+a$$

Итого:

$$\text{Re}(z)=4-5a^2+a$$

Мнимая часть:

$$-12ai+6ai+a^{3}i-a^{3}i=-6ai$$

Итого:

$$\text{Im}(z)=-6ai$$

Шаг 7: Представим результат в стандартной форме

$$z=\underset{\text{действительная часть}}{\underbrace{(-5a^2+a+4)}}+\underset{\text{мнимая часть}}{\underbrace{(-6a)i}}$$

а) Когда $z$ — действительное число?

Чтобы число $z$ было действительным, его мнимая часть должна быть равна нулю:

$$-6a=0\Rightarrow a=0$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$

б) Когда $z$ — чисто мнимое число?

Чтобы число $z$ было чисто мнимым, его действительная часть должна быть равна нулю:

$$-5a^2+a+4=0$$

Умножим на $-1$ (для удобства):

$$5a^2-a-4=0$$

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 5\cdot (-4)=1+80=81$$

Корни:

$$a_1=\frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot 5}=\frac{1-9}{10}=\frac{-8}{10}=-0.8$$$$a_2=\frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot 5}=\frac{1+9}{10}=\frac{10}{10}=1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\mathrm{0,8};1}}$

Итоговые ответы:

а) $a=0$
б) $a=-\mathrm{0,8};1$