ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По заданному сопряженному числу $\overline{z}$ восстановите комплексное число $z$ и вычислите произведение $z\overline{z}$ и частное $\frac{z}{\overline{z}}$.

а) $\overline{z} = 2i$;

б) $\overline{z} = -3i$;

в) $\overline{z} = 1 — i$;

г) $\overline{z} = -1 + 3i$

По заданному сопряженному числу $\overline{z}$ восстановить комплексное число $z$ и вычислить произведение $z\overline{z}$ и частное $\frac{z}{\overline{z}}$.

а) $\overline{z} = 2i$;
$z = -2i$;
$z\overline{z} = -2i \cdot 2i = -4i^2 = 4$;
$\frac{z}{\overline{z}} = \frac{-2i}{2i} = -1$;
Ответ: $z = -2i$; $z\overline{z} = 4$; $z:\overline{z} = -1$.

б) $\overline{z} = -3i$;
$z = -(-3i) = 3i$;
$z\overline{z} = 3i \cdot (-3i) = -9i^2 = 9$;
$\frac{z}{\overline{z}} = \frac{3i}{-3i} = -1$;
Ответ: $z = 3i$; $z\overline{z} = 9$; $z:\overline{z} = -1$.

в) $\overline{z} = 1 — i$;
$z = 1 — (-i) = 1 + i$;
$z\overline{z} = (1 + i)(1 — i) = 1 — i^2 = 1 + 1 = 2$;
$\frac{z}{\overline{z}} = \frac{1 + i}{1 — i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 — i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 — i^2} = \frac{1 + 2i — 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$;
Ответ: $z = 1 + i$; $z\overline{z} = 2$; $z:\overline{z} = i$.

г) $\overline{z} = -1 + 3i$;
$z = -1 — 3i$;
$z\overline{z} = (-1 — 3i)(-1 + 3i) = 1 — 9i^2 = 1 + 9 = 10$;
$\frac{z}{\overline{z}} = \frac{-1 — 3i}{-1 + 3i} = \frac{(-1 — 3i)^2}{(-1 + 3i)(-1 — 3i)} = \frac{1 + 6i + 9i^2}{1 — 9i^2} = \frac{1 + 6i — 9}{1 + 9} = \frac{-8 + 6i}{10} = -0.8 + 0.6i$;
Ответ: $z = -1 — 3i$; $z\overline{z} = 10$; $z:\overline{z} = -0.8 + 0.6i$.

а)

Дано:
$\overline{z} = 2i$ — это сопряжённое комплексное число.

Шаг 1: Восстановим $z$

Свойство сопряжения:
Если $\overline{z} = a — bi$, то $z = a + bi$.
В данном случае:
$\overline{z} = 0 + 2i$ → значит,
$z = 0 — 2i = -2i$.

Шаг 2: Найдём произведение $z\overline{z}$

Подставим:

$$z\overline{z} = (-2i)(2i)$$

Вспомним, что $i^2 = -1$:

$$(-2i)(2i) = -4i^2 = -4 \cdot (-1) = 4$$

Шаг 3: Найдём частное $\frac{z}{\overline{z}}$

$$\frac{z}{\overline{z}} = \frac{-2i}{2i}$$

Сократим:

$$\frac{-2i}{2i} = -1$$

Ответ:
$z = -2i$;
$z\overline{z} = 4$;
$z:\overline{z} = -1$

б)

Дано:
$\overline{z} = -3i$

Шаг 1: Восстановим $z$

$\overline{z} = 0 — 3i \Rightarrow z = 0 + 3i = 3i$

Шаг 2: Вычислим произведение

$$z\overline{z} = (3i)(-3i) = -9i^2 = -9(-1) = 9$$

Шаг 3: Найдём частное

$$\frac{3i}{-3i} = -1$$

Ответ:
$z = 3i$;
$z\overline{z} = 9$;
$z:\overline{z} = -1$

в)

Дано:
$\overline{z} = 1 — i$

Шаг 1: Восстановим $z$

$$\overline{z} = 1 — i \Rightarrow z = 1 + i$$

Шаг 2: Найдём произведение $z\overline{z}$

$$z\overline{z} = (1 + i)(1 — i)$$

Это формула разности квадратов:

$$(1 + i)(1 — i) = 1^2 — i^2 = 1 — (-1) = 1 + 1 = 2$$

Шаг 3: Найдём частное $\frac{z}{\overline{z}}$

$$\frac{1 + i}{1 — i}$$

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя:

$$\frac{1 + i}{1 — i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 — i)(1 + i)}$$

Рассчитаем числитель:

$$(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i — 1 = 2i$$

Рассчитаем знаменатель:

$$(1 — i)(1 + i) = 1^2 — i^2 = 1 — (-1) = 2$$ $$\frac{2i}{2} = i$$

Ответ:
$z = 1 + i$;
$z\overline{z} = 2$;
$z:\overline{z} = i$

г)

Дано:
$\overline{z} = -1 + 3i$

Шаг 1: Восстановим $z$

$$\overline{z} = -1 + 3i \Rightarrow z = -1 — 3i$$

Шаг 2: Найдём произведение

$$z\overline{z} = (-1 — 3i)(-1 + 3i)$$

Опять формула разности квадратов:

$$(-1)^2 — (3i)^2 = 1 — 9i^2 = 1 — 9(-1) = 1 + 9 = 10$$

Шаг 3: Найдём частное $\frac{z}{\overline{z}}$

$$\frac{-1 — 3i}{-1 + 3i}$$

Домножим на сопряжённое знаменателя:

$$\frac{-1 — 3i}{-1 + 3i} \cdot \frac{-1 — 3i}{-1 — 3i} = \frac{(-1 — 3i)^2}{(-1)^2 — (3i)^2}$$

Рассчитаем числитель:

$$(-1 — 3i)^2 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot (-3i) + (-3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i — 9 = -8 + 6i$$

Рассчитаем знаменатель:

$$(-1)^2 — (3i)^2 = 1 — 9(-1) = 1 + 9 = 10$$ $$\frac{-8 + 6i}{10} = -0.8 + 0.6i$$

Ответ:
$z = -1 — 3i$;
$z\overline{z} = 10$;
$z:\overline{z} = -0.8 + 0.6i$