ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

a)

$$\{\begin{array}{l}5z_1-3z_2=-9+5i\\ 4{\bar{z}}_1+z_2=3-4i\end{array};$$

б)

$$\{\begin{array}{l}7z_1+2z_2=7-4i\\ 3{\bar{z}}_1-z_2=3-2i\end{array};$$

в)

$$\{\begin{array}{l}4{\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2=7-6i\\ 3z_1-2z_2=-3-i\end{array};$$

г)

$$\{\begin{array}{l}i{\bar{z}}_1+2z_2=3+8i\\ 2i{z}_1-{\bar{z}}_2=7i\end{array}$$

a)

$$\{\begin{array}{l}5z_1-3z_2=-9+5i\\ 4{\bar{z}}_1+z_2=3-4i\end{array};$$

1) Из первого уравнения:

$$5(a+bi)-3(c-di)=-9+5i;$$$$5a+5bi-3c+3di=-9+5i;$$$$(5a-3c)+(5b+3d)i=-9+5i;$$$$\{\begin{array}{l}5a-3c=-9\\ 5b+3d=5\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{3c-9}{5}\\ b=\frac{5-3d}{5}\end{array}$$

2) Из второго уравнения:

$$4(a-bi)+(c+di)=3-4i;$$$$4a-4bi+c+di=3-4i;$$$$(4a+c)+(d-4b)i=3-4i;$$$$\{\begin{array}{l}4a+c=3\\ d-4b=-4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{3-c}{4}\\ b=\frac{d+4}{4}\end{array}$$

3) Значения чисел $a$ и $c$:

$$\frac{3c-9}{5}=\frac{3-c}{4};$$$$4(3c-9)=5(3-c);$$$$12c-36=15-5c;$$$$17c=51;$$$$c=3;$$$$a=\frac{3-3}{4}=0;$$

4) Значения чисел $b$ и $d$:

$$\frac{5-3d}{5}=\frac{d+4}{4};$$$$4(5-3d)=5(d+4);$$$$20-12d=5d+20;$$$$16d=0;$$$$d=0;$$$$b=\frac{0+4}{4}=1;$$

Ответ: $z_1=i;z_2=3.$

б)

$$\{\begin{array}{l}7z_1+2z_2=7-4i\\ 3{\bar{z}}_1-z_2=3-2i\end{array};$$

1) Из первого уравнения:

$$7(a+bi)+2(c-di)=7-4i;$$$$7a+7bi+2c-2di=7-4i;$$$$(7a+2c)+(7b-2d)i=7-4i;$$$$\{\begin{array}{l}7a+2c=7\\ 7b-2d=-4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{7-2c}{7}\\ b=\frac{2d-4}{7}\end{array}$$

2) Из второго уравнения:

$$3(a-bi)-(c+di)=3-2i;$$$$3a-3bi-c-di=3-2i;$$$$(3a-c)-(3b+d)i=3-2i;$$$$\{\begin{array}{l}3a-c=3\\ 3b+d=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{3+c}{3}\\ b=\frac{2-d}{3}\end{array}$$

3) Значения чисел $a$ и $b$:

$$\frac{7-2c}{7}=\frac{3+c}{3};$$$$3(7-2c)=7(3+c);$$$$21-6c=21+7c;$$$$13c=0;$$$$c=0;$$$$a=\frac{3+0}{3}=1;$$

4) Значения чисел $b$ и $d$:

$$\frac{2d-4}{7}=\frac{2-d}{3};$$$$3(2d-4)=7(2-d);$$$$6d-12=14-7d;$$$$13d=26;$$$$d=2;$$$$b=\frac{2-2}{3}=0;$$

Ответ: $z_1=1;z_2=2i\mathrm{.}$

в)

$$\{\begin{array}{l}4{\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2=7-6i\\ 3z_1-2z_2=-3-i\end{array};$$

1) Из первого уравнения:

$$4(a-bi)+(c-di)=7-6i;$$$$4a-4bi+c-di=7-6i;$$$$(4a+c)-(4b+d)i=7-6i;$$$$\{\begin{array}{l}4a+c=7\\ 4b+d=6\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{7-c}{4}\\ b=\frac{6-d}{4}\end{array}$$

2) Из второго уравнения:

$$3(a+bi)-2(c+di)=-3-i;$$$$3a+3bi-2c-2di=-3-i;$$$$(3a-2c)+(3b-2d)i=-3-i;$$$$\{\begin{array}{l}3a-2c=-3\\ 3b-2d=-1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{2c-3}{3}\\ b=\frac{2d-1}{3}\end{array}$$

3) Значения чисел $a$ и $c$:

$$\frac{7-c}{4}=\frac{2c-3}{3};$$$$3(7-c)=4(2c-3);$$$$21-3c=8c-12;$$$$11c=33;$$$$c=3;$$$$a=\frac{7-3}{4}=1;$$

4) Значения чисел $b$ и $d$:

$$\frac{6-d}{4}=\frac{2d-1}{3};$$$$3(6-d)=4(2d-1);$$$$18-3d=8d-4;$$$$11d=22;$$$$d=2;$$$$b=\frac{6-2}{4}=1;$$

Ответ: $z_1=1+i;z_2=3+2i\mathrm{.}$

г)

$$\{\begin{array}{l}i{\bar{z}}_1+2z_2=3+8i\\ 2i{z}_1-{\bar{z}}_2=7i\end{array};$$

1) Из первого уравнения:

$$i(a-bi)+2(c+di)=3+8i;$$$$ai-b(-i^2)+2c+2di=3+8i;$$$$(b+2c)+(a+2d)i=3+8i;$$$$\{\begin{array}{l}b+2c=3\\ a+2d=8\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=3-2c\\ a=8-2d\end{array}$$

2) Из второго уравнения:

$$2i(a+bi)-(c-di)=7i;$$$$2ai+2b{i}^2-c+di=7i;$$$$-2b-c+(2a+d)i=0+7i;$$$$\{\begin{array}{l}-2b-c=0\\ 2a+d=7\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=-0.5c\\ a=3.5-0.5d\end{array}$$

3) Значения чисел $b$ и $c$:

$$3-2c=-0.5c;$$$$1.5c=3;$$$$c=2;$$$$b=-0.5\cdot 2=-1;$$

4) Значения чисел $a$ и $d$:

$$8-2d=3.5-0.5d;$$$$1.5d=4.5;$$$$d=3;$$$$a=8-2\cdot 3=2;$$

Ответ: $z_1=2-i;z_2=2+3i\mathrm{.}$

а)

$$\{\begin{array}{l}5z_1-3z_2=-9+5i\text{(уравнение 1)}\\ 4{\bar{z}}_1+z_2=3-4i\text{(уравнение 2)}\end{array}$$

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть:

• $z_1=a+bi$, где $a,b\in \mathbb{R}$
• $z_2=c+di$, где $c,d\in \mathbb{R}$
• Тогда ${\bar{z}}_1=a-bi$, а ${\bar{z}}_2=c-di$

Шаг 2. Подставим в первое уравнение

Уравнение:

$$5z_1-3z_2=-9+5i\Rightarrow 5(a+bi)-3(c+di)=-9+5i$$

Раскроем скобки:

$$5a+5bi-3c-3di=-9+5i$$

Группируем по действительной и мнимой частям:

$$(5a-3c)+(5b-3d)i=-9+5i$$

Это даёт систему:

$$\{\begin{array}{l}5a-3c=-9\text{(1.1)}\\ 5b-3d=5\text{(1.2)}\end{array}$$

Шаг 3. Подставим во второе уравнение

$$4{\bar{z}}_1+z_2=3-4i\Rightarrow 4(a-bi)+(c+di)=3-4i$$

Раскроем:

$$4a-4bi+c+di=3-4i$$

Группируем:

$$(4a+c)+(-4b+d)i=3-4i$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}4a+c=3\text{(2.1)}\\ -4b+d=-4\text{(2.2)}\end{array}$$

Шаг 4. Выразим переменные

Из (2.1):

$$c=3-4a$$

Подставим в (1.1):

$$5a-3(3-4a)=-9\Rightarrow 5a-9+12a=-9\Rightarrow 17a=0\Rightarrow a=0$$

Теперь найдём $c$:

$$c=3-4\cdot 0=3$$

Из (2.2):

$$d=-4+4b$$

Подставим в (1.2):

$$5b-3(-4+4b)=5\Rightarrow 5b+12-12b=5\Rightarrow -7b=-7\Rightarrow b=1$$

Теперь найдём $d$:

$$d=-4+4\cdot 1=0$$

Ответ:

$$\begin{gathered} z_1=a+bi=0+i=\boxed{{\displaystyle i}} \\ {z}_2=c+di=3+0i=\boxed{{\displaystyle 3}} \end{gathered}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}7z_1+2z_2=7-4i\text{(уравнение 1)}\\ 3{\bar{z}}_1-z_2=3-2i\text{(уравнение 2)}\end{array}$$

Шаг 1. Обозначим переменные

$$z_1=a+bi,z_2=c+di,{\bar{z}}_1=a-bi$$

Шаг 2. Подставим в первое уравнение:

$$7(a+bi)+2(c+di)=7-4i\Rightarrow 7a+7bi+2c+2di=7-4i\Rightarrow$$

$$(7a+2c)+(7b+2d)i=7-4i$$

Получаем:

$$\{\begin{array}{l}7a+2c=7\text{(1.1)}\\ 7b+2d=-4\text{(1.2)}\end{array}$$

Шаг 3. Подставим во второе уравнение:

$$3(a-bi)-(c+di)=3-2i\Rightarrow 3a-3bi-c-di=3-2i\Rightarrow$$

$$(3a-c)+(-3b-d)i=3-2i$$

Получаем:

$$\{\begin{array}{l}3a-c=3\text{(2.1)}\\ -3b-d=-2\text{(2.2)}\end{array}$$

Шаг 4. Решим систему

Из (2.1):

$$c=3a-3\Rightarrow \text{Подставим в (1.1): }7a+2(3a-3)=7\Rightarrow 7a+6a-6=7\Rightarrow$$

$$13a=13\Rightarrow a=1\Rightarrow c=3\cdot 1-3=0$$

Из (2.2):

$$d=-2+3b\Rightarrow \text{Подставим в (1.2): }7b+2(-2+3b)=-4\Rightarrow$$

$$7b-4+6b=-4\Rightarrow 13b=0\Rightarrow b=0\Rightarrow d=2$$

Ответ:

$$z_1=1+0i=\boxed{{\displaystyle 1}},z_2=0-2i=\boxed{{\displaystyle 2i}}$$

в)

$$\{\begin{array}{l}4{\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2=7-6i\text{(уравнение 1)}\\ 3z_1-2z_2=-3-i\text{(уравнение 2)}\end{array}$$

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть:

• $z_1=a+bi\Rightarrow {\bar{z}}_1=a-bi$
• $z_2=c+di\Rightarrow {\bar{z}}_2=c-di$

Шаг 2. Подставим в первое уравнение

$$4(a-bi)+(c-di)=7-6i\Rightarrow 4a-4bi+c-di\Rightarrow (4a+c)+(-4b-d)i=7-6i$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}4a+c=7\text{(1.1)}\\ -4b-d=-6\Rightarrow 4b+d=6\text{(1.2)}\end{array}$$

Шаг 3. Подставим во второе уравнение

$$3(a+bi)-2(c+di)=-3-i\Rightarrow 3a+3bi-2c-2di=$$

$$=(3a-2c)+(3b-2d)i=-3-i$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}3a-2c=-3\text{(2.1)}\\ 3b-2d=-1\text{(2.2)}\end{array}$$

Шаг 4. Решим систему

Из (1.1):

$$c=7-4a\Rightarrow \text{Подставим в (2.1)}:3a-2(7-4a)=-3\Rightarrow 3a-14+8a=-3\Rightarrow$$

$$11a=11\Rightarrow a=1\Rightarrow c=7-4\cdot 1=3$$

Из (1.2):

$$d=6-4b\Rightarrow \text{Подставим в (2.2)}:3b-2(6-4b)=-1\Rightarrow 3b-12+8b=-1\Rightarrow$$

$$11b=11\Rightarrow b=1\Rightarrow d=6-4\cdot 1=2$$

Ответ:

$$\begin{gathered} z_1=a+bi=1+i \\ {z}_2=c+di=3+2i \end{gathered}$$

г)

$$\{\begin{array}{l}i{\bar{z}}_1+2z_2=3+8i\text{(уравнение 1)}\\ 2i{z}_1-{\bar{z}}_2=7i\text{(уравнение 2)}\end{array}$$

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть:

• $z_1=a+bi\Rightarrow {\bar{z}}_1=a-bi$
• $z_2=c+di\Rightarrow {\bar{z}}_2=c-di$

Шаг 2. Подставим в первое уравнение

$$i(a-bi)+2(c+di)$$

Разложим:

• $i(a-bi)=ai-b(i^2)=ai+b$

Итак:

$$ai+b+2c+2di=(b+2c)+(a+2d)i=3+8i$$

Получаем:

$$\{\begin{array}{l}b+2c=3\text{(1.1)}\\ a+2d=8\text{(1.2)}\end{array}$$

Шаг 3. Подставим во второе уравнение

$$2i(a+bi)-(c-di)$$

Раскроем:

• $2i(a+bi)=2ai+2b{i}^2=2ai-2b$

Тогда:

$$(2ai-2b)-(c-di)=(-2b-c)+(2a+d)i=7i$$

Получаем:

$$\{\begin{array}{l}-2b-c=0\Rightarrow c=-2b\text{(2.1)}\\ 2a+d=7\text{(2.2)}\end{array}$$

Шаг 4. Решим систему

Из (2.1):

$$c=-2b\Rightarrow \text{Подставим в (1.1)}:b+2(-2b)=3\Rightarrow b-4b=3\Rightarrow$$

$$-3b=3\Rightarrow b=-1\Rightarrow c=2$$

Из (2.2):

$$d=7-2a\Rightarrow \text{Подставим в (1.2)}:a+2(7-2a)=8\Rightarrow a+14-4a=8\Rightarrow$$

$$-3a=-6\Rightarrow a=2\Rightarrow d=3$$

Ответ:

$$z_1=2-i,z_2=2+3i$$