ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $(-i{)}^3$

б) $(-2i)^{5} = (-2i)^{4} \cdot (-2i) = 16 \cdot i^{4} \cdot (-2i) = 16 \cdot (i^{2})^{2} \cdot (-2i) =$

в) $-i^{22} — (-i)^{22} = -(i^{2})^{11} — i^{22} = -(-1)^{11} — (i^{2})^{11} =$

г) $i^3+i^5+i^7+\cdots +i^{2005}$

а) $(-i)^{3} = (-i)^{2} \cdot (-i) = i^{2} \cdot (-i) = -1 \cdot (-i) = i$;

Ответ: $i$.

б) $(-2i)^{5} = (-2i)^{4} \cdot (-2i) = 16 \cdot i^{4} \cdot (-2i) = 16 \cdot (i^{2})^{2} \cdot (-2i) =$

$= 16 \cdot (-1)^{2} \cdot (-2i) = 16 \cdot (-2i) = -32i$;

Ответ: $-32i$.

в) $-i^{22} — (-i)^{22} = -(i^{2})^{11} — i^{22} = -(-1)^{11} — (i^{2})^{11} =$

$= -(-1) — (-1)^{11} = 1 + 1 = 2$;

Ответ: $2$.

г) $i^{3} + i^{5} + i^{7} + \cdots + i^{2005} = i \cdot (i^{2} + i^{4} + i^{6} + \cdots + i^{2004}) =$

$= i \cdot (-1 + (i^{2})^{2} + (i^{2})^{3} + \cdots + (i^{2})^{1002}) =$

$= i \cdot (-1 + (-1)^{2} + (-1)^{3} + \cdots + (-1)^{1002}) =$

$= i \cdot (-1 + 1 — 1 + \cdots + 1) = i \cdot 0 = 0$;

Ответ: $0$.

а) $(-i)^3$

Шаг 1: Раскроем степень:

$$(-i)^3 = (-i)^2 \cdot (-i)$$

Шаг 2: Вычислим $(-i)^2$:

$$(-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$$

Шаг 3: Теперь перемножим:

$$(-i)^3 = (-1) \cdot (-i) = i$$

Ответ: $i$

б) $(-2i)^5$

Шаг 1: Разложим как произведение $(-2i)^4$ и $(-2i)$:

$$(-2i)^5 = (-2i)^4 \cdot (-2i)$$

Шаг 2: Вычислим $(-2i)^4$:

$$(-2i)^4 = ((-2)^4) \cdot (i^4) = 16 \cdot i^4$$

Шаг 3: Подставим в исходное выражение:

$$(-2i)^5 = 16 \cdot i^4 \cdot (-2i)$$

Шаг 4: Преобразуем $i^4$:

$$i^2 = -1 \Rightarrow i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$$

Шаг 5: Подставим:

$$(-2i)^5 = 16 \cdot 1 \cdot (-2i) = -32i$$

Ответ: $-32i$

в) $-i^{22} — (-i)^{22}$

Шаг 1: Упростим каждое слагаемое отдельно.

Первая часть: $-i^{22}$

$$i^{22} = (i^2)^{11} = (-1)^{11} = -1 \Rightarrow -i^{22} = -(-1) = 1$$

Вторая часть: $(-i)^{22}$

$$(-i)^{22} = ((-1) \cdot i)^{22} = (-1)^{22} \cdot i^{22} = 1 \cdot (-1) = -1$$

Шаг 2: Складываем:

$$1 — (-1) = 1 + 1 = 2$$

Ответ: $2$

г) $i^3 + i^5 + i^7 + \cdots + i^{2005}$

Это сумма нечетных степеней $i$ от $i^3$ до $i^{2005}$, т.е. $i^n$, где $n$ нечетное и от 3 до 2005.

Шаг 1: Заметим, что $i$ периодичен:

$$i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1,\quad i^5 = i, \quad \text{и т.д.}$$

Повтор каждые 4 степени: $i, -1, -i, 1$

Шаг 2: Запишем сумму:

$$S = i^3 + i^5 + i^7 + \cdots + i^{2005}$$

Можно вынести $i$ за скобки, заметив:

$$i^3 = i \cdot i^2,\quad i^5 = i \cdot i^4,\quad i^7 = i \cdot i^6,\quad \text{и т.д.}$$

То есть:

$$S = i \cdot (i^2 + i^4 + i^6 + \cdots + i^{2004})$$

Шаг 3: Заметим:

$$i^2 = -1,\quad i^4 = 1,\quad i^6 = -1,\quad i^8 = 1, \quad \text{и т.д.}$$

Каждый второй член $= -1$ или $1$, в зависимости от чётности номера внутри.

Шаг 4: Посчитаем количество слагаемых:

Члены $i^2, i^4, \dots, i^{2004}$ — чётные степени от 2 до 2004 включительно.

Это арифметическая прогрессия:

• первый член: $i^2$,
• последний: $i^{2004}$,
• шаг: 2.

Количество членов:

$$\frac{2004 — 2}{2} + 1 = 1002 — 1 + 1 = 1002$$

Шаг 5: Половина из этих 1002 членов равны $-1$, другая половина — $1$. Это чередующаяся последовательность:

$$-1 + 1 -1 + 1 + \dots + 1$$

Сумма: 1002 членов, из которых 501 равны $-1$, 501 равны $1$:

$$\sum = (-1) \cdot 501 + 1 \cdot 501 = -501 + 501 = 0$$

Шаг 6: Подставим обратно:

$$S = i \cdot 0 = 0$$

Ответ: $0$