ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Изобразите на координатной плоскости числа $z_1 = -3 + i$ и $z_2 = 5 + 2i$.

б) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $az_1 + z_2$ — чисто мнимое число.

в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел $az_1$ и $z_2$ из пункта б).

г) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $az_1 + z_2$ — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел $az_1$ и $z_2$.

а) Изобразим на координатной плоскости числа:
$z_1=-3+i\text{и}{z}_2=5+2i;$

$z_1 = -3 + i \quad \text{и} \quad z_2 = 5 + 2i;$б) Число $az_1 + z_2$ является чисто мнимым при:
$az_1 + z_2 = a(-3 + i) + (5 + 2i) = (5 — 3a) + (a + 2)i;$
$5 — 3a = 0;$
$3a = 5;$
$a = \frac{5}{3};$

в) Построим сумму чисел $az_1$ и $z_2$ из пункта б:

г) Число $az_1 + z_2$ является действительным при:
$az_1 + z_2 = a(-3 + i) + (5 + 2i) = (5 — 3a) + (a + 2)i;$
$a + 2 = 0;$
$a = -2;$

Построим сумму чисел $az_1$ и $z_2$:

а) Изобразим на координатной плоскости числа:

$$z_1 = -3 + i, \quad z_2 = 5 + 2i$$

Что это значит?

Числа $z_1$ и $z_2$ — комплексные числа. Их можно представить в виде:

$$z = x + iy$$

где:

• $x$ — действительная часть,
• $y$ — мнимая часть,
• $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$).

Координатная плоскость:

• Ось абсцисс (горизонтальная) — действительная часть;
• Ось ординат (вертикальная) — мнимая часть.

Построение:

• $z_1 = -3 + i$: точка с координатами $(-3, 1)$
• $z_2 = 5 + 2i$: точка с координатами $(5, 2)$

б) Число $az_1 + z_2$ является чисто мнимым при…

Шаг 1: Запишем выражение

$$az_1 + z_2 = a(-3 + i) + (5 + 2i)$$

Шаг 2: Раскроем скобки

$$= a \cdot (-3) + a \cdot i + 5 + 2i = -3a + ai + 5 + 2i$$

Шаг 3: Соберем по частям — отдельно действительную и мнимую часть:

• Действительная часть: $5 — 3a$
• Мнимая часть: $a + 2$

$$az_1 + z_2 = (5 — 3a) + (a + 2)i$$

Шаг 4: Условие чисто мнимого числа

Число чисто мнимое, если его действительная часть равна нулю.

Значит:

$$5 — 3a = 0$$

Шаг 5: Решим уравнение

$$5 = 3a \Rightarrow a = \frac{5}{3}$$

в) Построим сумму чисел $az_1$ и $z_2$ из пункта б:

Мы нашли:

$$a = \frac{5}{3}$$

Шаг 1: Найдём $az_1$

$$az_1 = \frac{5}{3} \cdot (-3 + i) = \frac{5}{3} \cdot (-3) + \frac{5}{3} \cdot i = -5 + \frac{5}{3}i$$

Шаг 2: Найдём сумму $az_1 + z_2$

$$az_1 + z_2 = \left(-5 + \frac{5}{3}i\right) + (5 + 2i) = 0 + \left(\frac{5}{3} + 2\right)i$$ $$= \left(0 + \frac{11}{3}i\right)$$

Итог:

• $az_1 + z_2 = \frac{11}{3}i$
• Это чисто мнимое число — действительно, действительная часть равна нулю.
• На плоскости — точка на мнимой оси в координате $\left(0, \frac{11}{3} \right)$

г) Число $az_1 + z_2$ является действительным при…

Шаг 1: Используем ту же формулу:

$$az_1 + z_2 = (5 — 3a) + (a + 2)i$$

Шаг 2: Условие действительности:

Число действительное, если его мнимая часть равна нулю.

Значит:

$$a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$$

Построим сумму чисел $az_1$ и $z_2$:

Найдём $az_1 + z_2$ при $a = -2$

Шаг 1: Найдём $az_1$

$$az_1 = -2 \cdot (-3 + i) = 6 — 2i$$

Шаг 2: Сложим с $z_2 = 5 + 2i$

$$az_1 + z_2 = (6 — 2i) + (5 + 2i) = (6 + 5) + (-2i + 2i) = 11 + 0i$$

Итог:

• $az_1 + z_2 = 11$
• Это чисто действительное число (точка $(11, 0)$ на действительной оси)