ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Для $n = 1, 2, 3, 4$ изобразите на координатной плоскости точки $z_n = (2n — 1) + (5 — n)i$;

б) докажите, что все эти точки лежат на одной прямой $l$; составьте уравнение прямой;

в) укажите число, лежащее на прямой $l$, у которого $\text{Re } z = -5$;

г) укажите число, лежащее на прямой $l$, у которого $\text{Im } z = 8$.

Даны комплексные числа:

$$z_n = (2n — 1) + (5 — n)i;$$

а) Для чисел $n = 1, 2, 3, 4$ изобразим точки на плоскости:

$$z_1 = (2 \cdot 1 — 1) + (5 — 1)i = 1 + 4i;$$ $$z_2 = (2 \cdot 2 — 1) + (5 — 2)i = 3 + 3i;$$ $$z_3 = (2 \cdot 3 — 1) + (5 — 3)i = 5 + 2i;$$ $$z_4 = (2 \cdot 4 — 1) + (5 — 4)i = 7 + i;$$

б) Докажем, что все точки лежат на одной прямой $l$:

$$x = 2n — 1;$$ $$2n = x + 1;$$ $$n = 0.5x + 0.5;$$ $$y = 5 — n = 5 — (0.5x + 0.5) = 4.5 — 0.5x;$$

Ответ: $y = 4.5 — 0.5x$.

в) Число, лежащее на прямой $l$, у которого $\text{Re } z = -5$:

$$x = -5;$$ $$y = 4.5 — 0.5 \cdot (-5) = 4.5 + 2.5 = 7;$$

Ответ: $z = -5 + 7i$.

г) Число, лежащее на прямой $l$, у которого $\text{Im } z = 8$:

$$y = 8;$$ $$4.5 — 0.5x = 8;$$ $$0.5x = -3.5;$$ $$x = -7;$$

Ответ: $z = -7 + 8i$.

Даны комплексные числа:

$$z_n = (2n — 1) + (5 — n)i$$

где $n$ — натуральное число.

Каждое такое число имеет действительную часть $x = 2n — 1$ и мнимую часть $y = 5 — n$.

а) Для чисел $n = 1, 2, 3, 4$ изобразим точки на плоскости:

Напомним:

Комплексное число $z = x + yi$ изображается на координатной плоскости как точка с координатами $(x, y)$.

Для $n = 1$:

$$z_1 = (2 \cdot 1 — 1) + (5 — 1)i = 1 + 4i$$

Координаты точки: $(1, 4)$

Для $n = 2$:

$$z_2 = (2 \cdot 2 — 1) + (5 — 2)i = 3 + 3i$$

Координаты точки: $(3, 3)$

Для $n = 3$:

$$z_3 = (2 \cdot 3 — 1) + (5 — 3)i = 5 + 2i$$

Координаты точки: $(5, 2)$

Для $n = 4$:

$$z_4 = (2 \cdot 4 — 1) + (5 — 4)i = 7 + i$$

Координаты точки: $(7, 1)$

Вывод:

Все точки:

• $z_1 = (1, 4)$
• $z_2 = (3, 3)$
• $z_3 = (5, 2)$
• $z_4 = (7, 1)$

б) Докажем, что все точки лежат на одной прямой $l$

Нам нужно показать, что точки $z_n$ лежат на прямой. Для этого выразим координаты $x$ и $y$ через параметр $n$, затем исключим $n$, чтобы получить уравнение прямой $y = kx + b$.

Шаг 1: Даны зависимости от $n$

$$x = 2n — 1 \quad \text{и} \quad y = 5 — n$$

Шаг 2: Выразим $n$ через $x$

Из уравнения:

$$x = 2n — 1 \Rightarrow 2n = x + 1 \Rightarrow n = \frac{x + 1}{2}$$

Шаг 3: Подставим $n$ в выражение для $y$

$$y = 5 — n = 5 — \left(\frac{x + 1}{2}\right) = \frac{10 — (x + 1)}{2} = \frac{9 — x}{2}$$ $$\Rightarrow y = 4.5 — 0.5x$$

Уравнение прямой $l$:

$$y = 4.5 — 0.5x$$

Это прямая с наклоном $-0.5$, проходящая через все четыре точки.

в) Число, лежащее на прямой $l$, у которого $\text{Re } z = -5$

Задано:

$$x = \text{Re } z = -5$$

Ищем соответствующее значение $y$, подставляя в уравнение прямой:

$$y = 4.5 — 0.5x = 4.5 — 0.5 \cdot (-5) = 4.5 + 2.5 = 7$$

Значит:

$$z = -5 + 7i$$

г) Число, лежащее на прямой $l$, у которого $\text{Im } z = 8$

Задано:

$$y = \text{Im } z = 8$$

Ищем $x$, решая уравнение прямой:

$$y = 4.5 — 0.5x \Rightarrow 8 = 4.5 — 0.5x$$

Решим:

$$0.5x = 4.5 — 8 = -3.5 \Rightarrow x = -7$$

Значит:

$$z = -7 + 8i$$

Окончательные ответы:

а)

$$\begin{align*} z_1 &= 1 + 4i \\ z_2 &= 3 + 3i \\ z_3 &= 5 + 2i \\ z_4 &= 7 + i \end{align*}$$

б)
Все точки лежат на прямой:

$$y = 4.5 — 0.5x$$

в)
Число на прямой при $\text{Re } z = -5$:

$$z = -5 + 7i$$

г)
Число на прямой при $\text{Im } z = 8$:

$$z = -7 + 8i$$