ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ изобразите на координатной плоскости точки $z_n = (n-1) + (n^2 — 5n + 6)i$.

б) Докажите, что эти точки лежат на одной параболе; составьте уравнение параболы.

в) Найдите действительную часть суммы $z_1 + z_2 + \ldots + z_6$.

г) Укажите наименьший номер $n$, начиная с которого мнимая часть числа $z_n$ будет больше 100.

Даны комплексные числа:

$$z_n = (n-1) + (n^2 — 5n + 6)i;$$

а) Для чисел $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ изобразим точки на плоскости:

$$z_1 = (1-1) + (1-5+6)i = 2i;$$ $$z_2 = (2-1) + (4-10+6)i = 1;$$ $$z_3 = (3-1) + (9-15+6)i = 2;$$ $$z_4 = (4-1) + (16-20+6)i = 3 + 2i;$$ $$z_5 = (5-1) + (25-25+6)i = 4 + 6i;$$ $$z_6 = (6-1) + (36-30+6)i = 5 + 12i;$$

б) Докажем, что все точки лежат на одной параболе:

$$x = n — 1;$$ $$n = x + 1;$$ $$y = n^2 — 5n + 6 = (x+1)^2 — 5(x+1) + 6;$$ $$y = x^2 + 2x + 1 — 5x — 5 + 6 = x^2 — 3x + 2;$$

Ответ: $y = x^2 — 3x + 2$.

в) Действительная часть суммы $z_1 + z_2 + \cdots + z_6$:

$$(1-1) + (2-1) + \cdots + (6-1) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15;$$

Ответ: 15.

г) Наименьший номер $n$, начиная с которого $\text{Im } z > 100$:

$$n^2 — 5n + 6 > 100;$$ $$n^2 — 5n — 94 > 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 94 = 25 + 376 = 401 \approx 400, \text{ тогда: }$$ $$n_1 \approx \frac{5 — 20}{2} = -7.5 \quad \text{и} \quad n_2 \approx \frac{5 + 20}{2} = 12.5;$$ $$(n + 7.5)(n — 12.5) > 0;$$ $$n < -7.5 \quad \text{или} \quad n > 12.5;$$ $$n > 12.5;$$ $$n = 13;$$

Ответ: 13.

Даны комплексные числа:

$$z_n = (n — 1) + (n^2 — 5n + 6)i$$

Это комплексное число имеет:

• действительную часть: $x = n — 1$,
• мнимую часть: $y = n^2 — 5n + 6$.

а) Для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ изобразим точки на координатной плоскости

Для каждого значения $n$ подставим в формулу и найдём значение $z_n$.

Для $n = 1$:

$$z_1 = (1 — 1) + (1^2 — 5 \cdot 1 + 6)i = 0 + (1 — 5 + 6)i = 0 + 2i = 2i$$

Координаты: $(0, 2)$

Для $n = 2$:

$$z_2 = (2 — 1) + (4 — 10 + 6)i = 1 + 0i = 1$$

Координаты: $(1, 0)$

Для $n = 3$:

$$z_3 = (3 — 1) + (9 — 15 + 6)i = 2 + 0i = 2$$

Координаты: $(2, 0)$

Для $n = 4$:

$$z_4 = (4 — 1) + (16 — 20 + 6)i = 3 + 2i$$

Координаты: $(3, 2)$

Для $n = 5$:

$$z_5 = (5 — 1) + (25 — 25 + 6)i = 4 + 6i$$

Координаты: $(4, 6)$

Для $n = 6$:

$$z_6 = (6 — 1) + (36 — 30 + 6)i = 5 + 12i$$

Координаты: $(5, 12)$

Итак, полученные точки:

б) Докажем, что все точки лежат на одной параболе

Шаг 1: Введём обозначения

Пусть:

• $x = n — 1 \Rightarrow n = x + 1$
• $y = \text{Im}(z_n) = n^2 — 5n + 6$

Шаг 2: Подставим $n = x + 1$ в выражение для $y$

$$y = (x + 1)^2 — 5(x + 1) + 6$$

Раскроем скобки:

$$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ $$-5(x + 1) = -5x — 5$$

Теперь:

$$y = x^2 + 2x + 1 — 5x — 5 + 6 = x^2 — 3x + 2$$

Уравнение параболы:

$$y = x^2 — 3x + 2$$

Проверим подстановкой одной из точек, например $x = 4$:

$$y = 4^2 — 3 \cdot 4 + 2 = 16 — 12 + 2 = 6 \Rightarrow (4, 6)$$

Совпадает с $z_5$ → ✔

в) Найти действительную часть суммы $z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5 + z_6$

Рассматриваем только действительные части $z_n$, то есть $n — 1$.

Суммируем:

$$0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

Ответ: 15

г) Найти наименьшее $n$, при котором $\text{Im}(z_n) > 100$

Мнимая часть:

$$y = n^2 — 5n + 6 > 100 \Rightarrow n^2 — 5n — 94 > 0$$

Решим квадратное неравенство:

Найдём корни уравнения:

$$n^2 — 5n — 94 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-94) = 25 + 376 = 401$$

Корни:

$$n_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{401}}{2}$$

Приблизительно:

$$\sqrt{401} \approx 20.02 \Rightarrow n_1 \approx \frac{5 — 20.02}{2} \approx -7.51, \quad n_2 \approx \frac{5 + 20.02}{2} \approx 12.51$$

Решение неравенства:

$$n^2 — 5n — 94 > 0 \quad \Rightarrow \quad n < -7.51 \quad \text{или} \quad n > 12.51$$

Поскольку $n \in \mathbb{N}$, берём:

$$n = 13$$

Ответ: 13