ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $z \operatorname{Re} z = 1;$

б) $z \operatorname{Re} z = -1;$

в) $z (\operatorname{Re} z)^2 = 1;$

г) $z(\mathrm{Re}z{)}^2=-1$

а) $z \operatorname{Re} z = 1;$

$$(x + yi)x = 1;$$ $$x^2 + (xy)i = 1 + 0i;$$ $$\begin{cases} x^2 = 1 \\ xy = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \pm 1 \\ y = 0 \end{cases};$$

Ответ: $z = \pm 1$.

б) $z \operatorname{Re} z = -1;$

$$(x + yi)x = -1;$$ $$x^2 + (xy)i = -1 + 0i;$$ $$\begin{cases} x^2 = -1 \\ xy = 0 \end{cases};$$

Ответ: корней нет.

в) $z (\operatorname{Re} z)^2 = 1;$

$$(x + yi)x^2 = 1;$$ $$x^3 + (x^2 y)i = 1 + 0i;$$ $$\begin{cases} x^3 = 1 \\ x^2 y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases};$$

Ответ: $z = 1$.

г) $z (\operatorname{Re} z)^2 = -1;$

$$(x + yi)x^2 = -1;$$ $$x^3 + (x^2 y)i = -1 + 0i;$$ $$\begin{cases} x^3 = -1 \\ x^2 y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \end{cases};$$

Ответ: $z = -1$.

а) $z \cdot \operatorname{Re} z = 1$

Обозначим комплексное число:
$z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$, $i^2 = -1$

Тогда вещественная часть:
$\operatorname{Re} z = x$

Подставим в уравнение:

$$z \cdot \operatorname{Re} z = (x + yi) \cdot x$$

Выполним умножение:

$$(x + yi) \cdot x = x^2 + xyi$$

Это выражение должно быть равно числу 1, которое представим в комплексной форме:

$$x^2 + xyi = 1 + 0i$$

Приравниваем вещественные и мнимые части:

$$\begin{cases} x^2 = 1 \\ xy = 0 \end{cases}$$

Решаем систему:

1) $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

2) $xy = 0 \Rightarrow$ либо $x = 0$, либо $y = 0$

Но $x = 0$ не подходит, так как это противоречит первому уравнению $x = \pm 1$

Следовательно, $y = 0$

Ответ:

$$z = \pm 1$$

б) $z \cdot \operatorname{Re} z = -1$

Подставим $z = x + yi$, $\operatorname{Re} z = x$

$$(x + yi) \cdot x = x^2 + xyi$$

Приравниваем к $-1 + 0i$:

$$x^2 + xyi = -1 + 0i$$

Сравниваем вещественную и мнимую части:

$$\begin{cases} x^2 = -1 \\ xy = 0 \end{cases}$$

Первое уравнение: $x^2 = -1$

Но квадрат вещественного числа не может быть отрицательным, так как:

$$x^2 \geq 0 \quad \text{для любого } x \in \mathbb{R}$$

Следовательно, решений в множестве комплексных чисел с вещественными коэффициентами нет.

Ответ:

$$\text{Корней нет}$$

в) $z \cdot (\operatorname{Re} z)^2 = 1$

Подставим $z = x + yi$, $\operatorname{Re} z = x$, тогда:

$$(x + yi) \cdot x^2 = x^3 + x^2 y i$$

Приравниваем к $1 + 0i$:

$$x^3 + x^2 y i = 1 + 0i$$

Равенство комплексных чисел даёт систему:

$$\begin{cases} x^3 = 1 \\ x^2 y = 0 \end{cases}$$

Решаем:

1) $x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$ (другие корни у этого уравнения есть в комплексных числах, но $x \in \mathbb{R}$, значит $x = 1$)

2) $x^2 y = 0 \Rightarrow 1^2 \cdot y = 0 \Rightarrow y = 0$

Ответ:

$$z = 1$$

г) $z \cdot (\operatorname{Re} z)^2 = -1$

Подставим $z = x + yi$, $\operatorname{Re} z = x$:

$$(x + yi) \cdot x^2 = x^3 + x^2 y i$$

Приравниваем к $-1 + 0i$:

$$x^3 + x^2 y i = -1 + 0i$$

Равенство комплексных чисел:

$$\begin{cases} x^3 = -1 \\ x^2 y = 0 \end{cases}$$

Решаем:

1) $x^3 = -1 \Rightarrow x = -1$

2) $x^2 y = 0 \Rightarrow (-1)^2 \cdot y = y = 0$

Ответ:

$$z = -1$$

Итоговые ответы:

а) $z = \pm 1$
б) корней нет
в) $z = 1$
г) $z = -1$