ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $z \operatorname{Im} z = i$;

б) $z \operatorname{Im} z = -i$;

в) $z (\operatorname{Im} z)^2 = i$;

г) $z (\operatorname{Im} z)^2 = -i$

а) $z \operatorname{Im} z = i$;

$$(x + yi)y = i;$$ $$xy + y^2i = 0 + i;$$ $$\begin{cases} xy = 0 \\ y^2 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = \pm 1 \end{cases};$$

Ответ: $z = \pm i$.

б) $z \operatorname{Im} z = -i$;

$$(x + yi)y = -i;$$ $$xy + y^2i = 0 — i;$$ $$\begin{cases} xy = 0 \\ y^2 = -1 \end{cases};$$

Ответ: корней нет.

в) $z (\operatorname{Im} z)^2 = i$;

$$(x + yi)y^2 = i;$$ $$xy^2 + y^3i = 0 + i;$$ $$\begin{cases} xy^2 = 0 \\ y^3 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \end{cases};$$

Ответ: $z = i$.

г) $z (\operatorname{Im} z)^2 = -i$;

$$(x + yi)y^2 = -i;$$ $$xy^2 + y^3i = 0 — i;$$ $$\begin{cases} xy^2 = 0 \\ y^3 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = -1 \end{cases};$$

Ответ: $z = -i$.

Обозначим $z = x + yi$, где $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$. Тогда:

• $\operatorname{Im} z = y$,
• $i$ — мнимая единица, $i^2 = -1$.

а) $z \cdot \operatorname{Im} z = i$

Подставим $z = x + yi$, $\operatorname{Im} z = y$:

$$(x + yi) \cdot y = i$$

Распишем произведение:

$$xy + y^2i = i$$

Левая часть — это комплексное число, где:

• действительная часть: $xy$,
• мнимая часть: $y^2$.

Правая часть — это число $i$, у которого:

• действительная часть: $0$,
• мнимая часть: $1$.

Приравняем действительные и мнимые части:

$$\begin{cases} xy = 0 \\ y^2 = 1 \end{cases}$$

Решаем систему:

Из второго уравнения:

$$y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$$

Подставим в первое уравнение:

Если $y = 1$, тогда:

$$xy = x \cdot 1 = x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Если $y = -1$, тогда:

$$xy = x \cdot (-1) = -x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Во всех случаях $x = 0$. Значит, решения:

$$z = x + yi = 0 + (\pm1)i = \pm i$$

Ответ: $z = \pm i$

б) $z \cdot \operatorname{Im} z = -i$

Аналогично: подставим $z = x + yi$, $\operatorname{Im} z = y$:

$$(x + yi) \cdot y = -i$$

Раскроем скобки:

$$xy + y^2i = -i$$

Сравним действительную и мнимую части:

• левая часть: $xy + y^2i$
• правая часть: $0 — i$

Получим систему:

$$\begin{cases} xy = 0 \\ y^2 = -1 \end{cases}$$

Но $y^2 = -1$ не имеет решений в вещественных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет

в) $z \cdot (\operatorname{Im} z)^2 = i$

Опять подставим:

• $z = x + yi$
• $\operatorname{Im} z = y$

Тогда:

$$(x + yi) \cdot y^2 = i$$

Распишем:

$$xy^2 + y^3i = i$$

Левая часть: $\text{Re} = xy^2, \quad \text{Im} = y^3$
Правая часть: $\text{Re} = 0, \quad \text{Im} = 1$

Приравняем:

$$\begin{cases} xy^2 = 0 \\ y^3 = 1 \end{cases}$$

Решаем:

Второе уравнение:

$$y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$$

Подставим в первое:

$$xy^2 = x \cdot 1^2 = x = 0$$

Получаем:

$$x = 0, \quad y = 1 \Rightarrow z = 0 + i = i$$

Ответ: $z = i$

г) $z \cdot (\operatorname{Im} z)^2 = -i$

Как и раньше, подставим:

$$(x + yi) \cdot y^2 = -i$$

Раскроем:

$$xy^2 + y^3i = -i$$

Приравняем действительные и мнимые части:

$$\begin{cases} xy^2 = 0 \\ y^3 = -1 \end{cases}$$

Решим второе уравнение:

$$y^3 = -1 \Rightarrow y = -1$$

Подставим в первое:

$$xy^2 = x \cdot (-1)^2 = x \cdot 1 = x = 0$$

Получаем:

$$x = 0, \quad y = -1 \Rightarrow z = 0 — i = -i$$

Ответ: $z = -i$