ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $z \operatorname{Re} z = \overline{z} \operatorname{Im} \overline{z}$;

б) $z \operatorname{Re} \overline{z} = \overline{z} \operatorname{Im} z$;

в) $z \operatorname{Im} \overline{z} = \overline{z} \operatorname{Re} z$;

г) $z \operatorname{Re} z = \overline{z} \operatorname{Re} \overline{z}$

а) $z \operatorname{Re} z = \overline{z} \operatorname{Im} \overline{z}$;

$$(x + yi)x = (x — yi)(-y);$$ $$x^2 + (xy)i = -xy + y^2i;$$ $$\begin{cases} x^2 = -xy \\ xy = y^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = -x^2 \\ xy = y^2 \end{cases};$$ $$-x^2 = y^2;$$ $$x = y = 0;$$

Ответ: $z = 0$.

б) $z \operatorname{Re} \overline{z} = \overline{z} \operatorname{Im} z$;

$$(x + yi)x = (x — yi)y;$$ $$x^2 + (xy)i = xy — y^2i;$$ $$\begin{cases} x^2 = xy \\ xy = -y^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = -x^2 \\ xy = y^2 \end{cases};$$ $$-x^2 = y^2;$$ $$x = y = 0;$$

Ответ: $z = 0$.

в) $z \operatorname{Im} \overline{z} = \overline{z} \operatorname{Re} z$;

$$(x + yi)(-y) = (x — yi)x;$$ $$-xy — y^2i = x^2 — (xy)i;$$ $$\begin{cases} -xy = x^2 \\ -y^2 = -(xy) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = -x^2 \\ xy = y^2 \end{cases};$$ $$-x^2 = y^2;$$ $$x = y = 0;$$

Ответ: $z = 0$.

г) $z \operatorname{Re} z = \overline{z} \operatorname{Re} \overline{z}$;

$$(x + yi)x = (x — yi)x;$$ $$x^2 + (xy)i = x^2 — (xy)i;$$ $$\begin{cases} x^2 = x^2 \\ xy = -xy \end{cases};$$ $$xy = -xy;$$ $$x = 0 \text{ или } y = 0;$$

Ответ: любое действительное или чисто мнимое число.

а) $z \cdot \operatorname{Re}(z) = \overline{z} \cdot \operatorname{Im}(\overline{z})$

Шаг 1: Распишем все выражения

• $z = x + yi$
• $\operatorname{Re}(z) = x$
• $\overline{z} = x — yi$
• $\operatorname{Im}(\overline{z}) = -y$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$(x + yi) \cdot x = (x — yi) \cdot (-y)$$

Шаг 3: Раскроем скобки

Левая часть:

$$(x + yi) \cdot x = x^2 + xyi = x^2 + ixy$$

Правая часть:

$$(x — yi) \cdot (-y) = -xy + y^2i$$

Шаг 4: Приравняем действительные и мнимые части

• Действительная часть: $x^2 = -xy$
• Мнимая часть: $xy = y^2$

$$\begin{cases} x^2 = -xy \\ xy = y^2 \end{cases}$$

Шаг 5: Подставим $xy$ из второго уравнения во первое

$$x^2 = -y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 0$$

Но сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только тогда, когда оба равны нулю:

$$x = 0, \quad y = 0$$

Ответ:

$$z = 0$$

б) $z \cdot \operatorname{Re}(\overline{z}) = \overline{z} \cdot \operatorname{Im}(z)$

Шаг 1: Распишем

• $z = x + yi$
• $\overline{z} = x — yi$
• $\operatorname{Re}(\overline{z}) = x$
• $\operatorname{Im}(z) = y$

Шаг 2: Подставим

$$(x + yi) \cdot x = (x — yi) \cdot y$$

Шаг 3: Раскроем скобки

Левая часть:

$$x(x + yi) = x^2 + xyi = x^2 + ixy$$

Правая часть:

$$y(x — yi) = xy — y^2i$$

Шаг 4: Приравняем части

$$\begin{cases} x^2 = xy \\ xy = -y^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = x^2 \\ xy = -y^2 \end{cases} \Rightarrow x^2 = -y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 0 \Rightarrow x = y = 0$$

Ответ:

$$z = 0$$

в) $z \cdot \operatorname{Im}(\overline{z}) = \overline{z} \cdot \operatorname{Re}(z)$

Шаг 1: Распишем

• $z = x + yi$
• $\overline{z} = x — yi$
• $\operatorname{Im}(\overline{z}) = -y$
• $\operatorname{Re}(z) = x$

Шаг 2: Подставим

$$(x + yi)(-y) = (x — yi) \cdot x$$

Шаг 3: Раскроем

Левая часть:

$$-xy — y^2i$$

Правая часть:

$$x(x — yi) = x^2 — xyi$$

Шаг 4: Сравним:

$$-xy = x^2 \quad \text{(действительная часть)}$$ $$-y^2 = -xy \quad \text{(мнимая часть)}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} xy = -x^2 \\ xy = y^2 \end{cases} \Rightarrow -x^2 = y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 0 \Rightarrow x = y = 0$$

Ответ:

$$z = 0$$

г) $z \cdot \operatorname{Re}(z) = \overline{z} \cdot \operatorname{Re}(\overline{z})$

Шаг 1: Распишем

• $z = x + yi$
• $\overline{z} = x — yi$
• $\operatorname{Re}(z) = x$
• $\operatorname{Re}(\overline{z}) = x$

Шаг 2: Подставим

$$(x + yi) \cdot x = (x — yi) \cdot x$$

Шаг 3: Раскроем скобки

Левая часть:

$$x^2 + xyi = x^2 + ixy$$

Правая часть:

$$x^2 — xyi = x^2 — ixy$$

Шаг 4: Сравним части:

• Действительная часть: $x^2 = x^2$ (всегда верно)
• Мнимая часть: $xy = -xy \Rightarrow 2xy = 0 \Rightarrow xy = 0$

Шаг 5: Получаем:

$$xy = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } y = 0$$

То есть, $z = x + yi$ либо:

• $x = 0 \Rightarrow z = yi$ — чисто мнимое
• $y = 0 \Rightarrow z = x$ — действительное

Ответ:

Любое действительное или чисто мнимое число.
То есть $z \in \mathbb{R} \cup i\mathbb{R}$