ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $z \operatorname{Re}(z-4) = i — 4$

б) $z \operatorname{Im}(z + 2i) = 7 — i$

в) $\overline{z} \operatorname{Re}(z — 6) = 21i — 9$

г) $\bar{z}\mathrm{Im}(z+4)=10+4i$

a) $z \operatorname{Re}(z-4) = i — 4$

Разложение:

$$(x + yi)(x — 4) = i — 4$$ $$x^2 — 4x + xyi — 4yi = i — 4$$ $$(x^2 — 4x) + (xy — 4y)i = -4 + i$$

Сравнение действительной и мнимой частей:

$$\begin{cases} x^2 — 4x = -4 \\ xy — 4y = 1 \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x^2 — 4x = -4$$ $$x^2 — 4x + 4 = 0$$ $$(x — 2)^2 = 0$$ $$x = 2$$

Из второго уравнения:

$$2y — 4y = 1$$ $$-2y = 1$$ $$y = -0.5$$

Ответ: $z = 2 — 0.5i$.

б) $z \operatorname{Im}(z + 2i) = 7 — i$

Разложение:

$$(x + yi)(y + 2) = 7 — i$$ $$xy + 2x + y^2i + 2yi = 7 — i$$ $$(xy + 2x) + (y^2 + 2y)i = 7 — i$$

Сравнение действительной и мнимой частей:

$$\begin{cases} xy + 2x = 7 \\ y^2 + 2y = -1 \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$y^2 + 2y = -1$$ $$y^2 + 2y + 1 = 0$$ $$(y + 1)^2 = 0$$ $$y = -1$$

Из первого уравнения:

$$-x + 2x = 7$$ $$x = 7$$

Ответ: $z = 7 — i$.

в) $\overline{z} \operatorname{Re}(z — 6) = 21i — 9$

Разложение:

$$(x — yi)(x — 6) = 21i — 9$$ $$x^2 — 6x — xyi + 6yi = 21i — 9$$ $$(x^2 — 6x) + (6y — xy)i = -9 + 21i$$

Сравнение действительной и мнимой частей:

$$\begin{cases} x^2 — 6x = -9 \\ 6y — xy = 21 \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x^2 — 6x = -9$$ $$x^2 — 6x + 9 = 0$$ $$(x — 3)^2 = 0$$ $$x = 3$$

Из второго уравнения:

$$6y — 3y = 21$$ $$3y = 21$$ $$y = 7$$

Ответ: $z = 3 + 7i$.

г) $\overline{z} \operatorname{Im}(z + 4) = 10 + 4i$

Разложение:

$$(x — yi)(y + 4) = 10 + 4i$$ $$xy + 4x — y^2i — 4yi = 10 + 4i$$ $$(xy + 4x) + (-y^2 — 4y)i = 10 + 4i$$

Сравнение действительной и мнимой частей:

$$\begin{cases} xy + 4x = 10 \\ -y^2 — 4y = 4 \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$-y^2 — 4y = 4$$ $$y^2 + 4y + 4 = 0$$ $$(y + 2)^2 = 0$$ $$y = -2$$

Из первого уравнения:

$$-2x + 4x = 10$$ $$2x = 10$$ $$x = 5$$

Ответ: $z = 5 — 2i$.

а) $z \operatorname{Re}(z — 4) = i — 4$

Пусть $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

Шаг 1. Найдём $\operatorname{Re}(z — 4)$

$$z — 4 = (x + yi) — 4 = (x — 4) + yi$$ $$\operatorname{Re}(z — 4) = x — 4$$

Шаг 2. Подставим в исходное уравнение

$$z \cdot \operatorname{Re}(z — 4) = (x + yi)(x — 4) = i — 4$$

Шаг 3. Раскроем скобки

$$(x + yi)(x — 4) = x(x — 4) + yi(x — 4)$$ $$= x^2 — 4x + xyi — 4yi$$

Шаг 4. Разделим на действительную и мнимую часть

$$= (x^2 — 4x) + (xy — 4y)i$$

Шаг 5. Приравняем к правой части: $i — 4 = -4 + i$

$$(x^2 — 4x) + (xy — 4y)i = -4 + i$$

Шаг 6. Сравним действительные и мнимые части

$$\begin{cases} x^2 — 4x = -4 \quad \text{(1)} \\ xy — 4y = 1 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 7. Решим уравнение (1):

$$x^2 — 4x = -4 \Rightarrow x^2 — 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x — 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Шаг 8. Подставим $x = 2$ в уравнение (2):

$$2y — 4y = 1 \Rightarrow -2y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$z = x + yi = 2 — \frac{1}{2}i$$

б) $z \operatorname{Im}(z + 2i) = 7 — i$

Пусть $z = x + yi$, $x, y \in \mathbb{R}$

Шаг 1. Найдём $\operatorname{Im}(z + 2i)$

$$z + 2i = x + yi + 2i = x + (y + 2)i$$ $$\operatorname{Im}(z + 2i) = y + 2$$

Шаг 2. Подставим в уравнение

$$z \cdot \operatorname{Im}(z + 2i) = (x + yi)(y + 2) = 7 — i$$

Шаг 3. Раскроем скобки

$$= x(y + 2) + yi(y + 2) = xy + 2x + y^2i + 2yi$$

Шаг 4. Разделим на действительную и мнимую части

$$= (xy + 2x) + (y^2 + 2y)i$$

Шаг 5. Приравняем к $7 — i$

$$(xy + 2x) + (y^2 + 2y)i = 7 — i$$

Шаг 6. Сравним части

$$\begin{cases} xy + 2x = 7 \quad \text{(1)} \\ y^2 + 2y = -1 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 7. Решим (2):

$$y^2 + 2y + 1 = 0 \Rightarrow (y + 1)^2 = 0 \Rightarrow y = -1$$

Шаг 8. Подставим $y = -1$ в (1):

$$— x + 2x = 7 \Rightarrow x = 7$$

Ответ:

$$z = 7 — i$$

в) $\overline{z} \operatorname{Re}(z — 6) = 21i — 9$

Пусть $z = x + yi$, тогда $\overline{z} = x — yi$

Шаг 1. Найдём $\operatorname{Re}(z — 6)$

$$z — 6 = x + yi — 6 = (x — 6) + yi \Rightarrow \operatorname{Re}(z — 6) = x — 6$$

Шаг 2. Подставим в уравнение

$$\overline{z} \cdot \operatorname{Re}(z — 6) = (x — yi)(x — 6) = 21i — 9$$

Шаг 3. Раскроем скобки

$$= x(x — 6) — yi(x — 6) = x^2 — 6x — xyi + 6yi$$

Шаг 4. Сгруппируем

$$= (x^2 — 6x) + (6y — xy)i$$

Шаг 5. Приравняем к $-9 + 21i$

$$(x^2 — 6x) + (6y — xy)i = -9 + 21i$$

Шаг 6. Сравним части

$$\begin{cases} x^2 — 6x = -9 \quad \text{(1)} \\ 6y — xy = 21 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 7. Решим (1):

$$x^2 — 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x — 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Шаг 8. Подставим $x = 3$ в (2):

$$6y — 3y = 21 \Rightarrow 3y = 21 \Rightarrow y = 7$$

Ответ:

$$z = 3 + 7i$$

г) $\overline{z} \operatorname{Im}(z + 4) = 10 + 4i$

Пусть $z = x + yi$, $\overline{z} = x — yi$

Шаг 1. Найдём $\operatorname{Im}(z + 4)$

$$z + 4 = x + yi + 4 = (x + 4) + yi \Rightarrow \operatorname{Im}(z + 4) = y$$

Шаг 2. Умножим $\overline{z} \cdot (y + 4)$

$$(x — yi)(y + 4) = xy + 4x — y^2i — 4yi$$

Шаг 3. Разделим на действительную и мнимую части

$$= (xy + 4x) + (-y^2 — 4y)i$$

Шаг 4. Приравняем к $10 + 4i$

$$(xy + 4x) + (-y^2 — 4y)i = 10 + 4i$$

Шаг 5. Сравним части

$$\begin{cases} xy + 4x = 10 \quad \text{(1)} \\ — y^2 — 4y = 4 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 6. Решим (2):

$$— y^2 — 4y = 4 \Rightarrow y^2 + 4y + 4 = 0 \Rightarrow (y + 2)^2 = 0 \Rightarrow y = -2$$

Шаг 7. Подставим $y = -2$ в (1):

$$-2x + 4x = 10 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$$

Ответ:

$$z = 5 — 2i$$