ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) ((b/b-3)-(b/b+3)-((b^2+9)/(9-b^2)))*((3-b)^2)/(3b+b^2).

б) (y^2+5y)/(y-5)^2 : ((5/y+5) +((y^2+25)/(y^2-25))-(5/5-y)).

а)

$$\left( \frac{b}{b-3} — \frac{b}{b+3} — \frac{b^2+9}{9-b^2} \right) \cdot \frac{(3-b)^2}{3b+b^2} =$$ $$= \left( \frac{b(b+3) — b(b-3)}{(b-3)(b+3)} + \frac{b^2+9}{b^2-9} \right) \cdot \frac{(3-b)^2}{3b+b^2} =$$ $$= \left( \frac{b^2 + 3b — b^2 + 3b}{b^2-9} + \frac{b^2+9}{b^2-9} \right) \cdot \frac{(3-b)^2}{3b+b^2} =$$ $$= \frac{b^2 + 6b + 9}{b^2-9} \cdot \frac{(3-b)^2}{3b+b^2} = \frac{(b+3)^2}{(b-3)(b+3)} \cdot \frac{(b-3)^2}{b(3+b)} = \frac{b-3}{b}.$$

Ответ: $\frac{b-3}{b}$.

б)

$$\frac{y^2+5y}{(y-5)^2} : \left( \frac{5}{y+5} + \frac{y^2+25}{y^2-25} — \frac{5}{5-y} \right) =$$ $$= \frac{y^2+5y}{(y-5)^2} : \left( \frac{5}{y+5} + \frac{5}{y-5} + \frac{y^2+25}{y^2-25} \right) =$$ $$= \frac{y^2+5y}{(y-5)^2} : \left( \frac{5(y-5) + 5(y+5)}{(y+5)(y-5)} + \frac{y^2+25}{y^2-25} \right) =$$ $$= \frac{y^2+5y}{(y-5)^2} : \left( \frac{5y-25 + 5y+25}{y^2-25} + \frac{y^2+25}{y^2-25} \right) =$$ $$= \frac{y^2+5y}{(y-5)^2} \cdot \frac{y^2-25}{y^2+10y+25} = \frac{y(y+5)}{(y-5)^2} \cdot \frac{(y-5)(y+5)}{(y+5)^2} = \frac{y}{y-5}.$$

Ответ: $\frac{y}{y-5}$.

а)

$$\left( \frac{b}{b-3} — \frac{b}{b+3} — \frac{b^2+9}{9-b^2} \right) \cdot \frac{(3-b)^2}{3b+b^2}$$

1) Приводим к общему знаменателю первую часть выражения:

Итак, у нас есть выражение:

$$\frac{b}{b-3} — \frac{b}{b+3} — \frac{b^2+9}{9-b^2}.$$

Обратим внимание, что $9 — b^2 = (3 — b)(3 + b)$, что является разностью квадратов, и $9 — b^2 = -(b^2 — 9)$.

Теперь перепишем $\frac{b^2 + 9}{9 — b^2}$ как:

$$\frac{b^2 + 9}{-(b — 3)(b + 3)} = -\frac{b^2 + 9}{(b — 3)(b + 3)}.$$

Заменим это в исходном выражении:

$$\frac{b}{b-3} — \frac{b}{b+3} + \frac{b^2 + 9}{(b — 3)(b + 3)}.$$

Теперь нам нужно привести все дроби к общему знаменателю, которым будет $(b — 3)(b + 3)$.

Перепишем каждую дробь с этим знаменателем:

$$\frac{b}{b-3} = \frac{b(b+3)}{(b-3)(b+3)}, \quad \frac{b}{b+3} = \frac{b(b-3)}{(b-3)(b+3)}, \quad \frac{b^2 + 9}{(b — 3)(b + 3)}.$$

2) Собираем числители:

Теперь у нас все выражения имеют общий знаменатель $(b — 3)(b + 3)$, так что мы можем сложить числители:

$$\frac{b(b+3) — b(b-3) + (b^2 + 9)}{(b-3)(b+3)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$b(b+3) = b^2 + 3b, \quad b(b-3) = b^2 — 3b.$$

Теперь подставим в числитель:

$$b^2 + 3b — (b^2 — 3b) + b^2 + 9 = b^2 + 3b — b^2 + 3b + b^2 + 9 = b^2 + 6b + 9.$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\frac{b^2 + 6b + 9}{(b — 3)(b + 3)}.$$

3) Упрощаем с учетом второй части выражения:

Теперь умножаем результат на $\frac{(3-b)^2}{3b + b^2}$. Обратите внимание, что $(3 — b) = -(b — 3)$, поэтому:

$$(3 — b)^2 = (b — 3)^2.$$

Таким образом, вторая часть выражения:

$$\frac{(3-b)^2}{3b + b^2} = \frac{(b-3)^2}{3b + b^2}.$$

Теперь имеем выражение:

$$\frac{b^2 + 6b + 9}{(b — 3)(b + 3)} \cdot \frac{(b — 3)^2}{3b + b^2}.$$

4) Упрощаем дробь:

Рассмотрим оба множителя:

• В числителе $b^2 + 6b + 9 = (b + 3)^2$,
• В знаменателе $(b — 3)(b + 3)$.

Теперь можем переписать выражение:

$$\frac{(b + 3)^2}{(b — 3)(b + 3)} \cdot \frac{(b — 3)^2}{b(3 + b)}.$$

Сокращаем $(b + 3)$ и $(b — 3)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(b — 3)}{b}.$$

Таким образом, итоговый результат:

$$\frac{b — 3}{b}.$$

Ответ: $\frac{b — 3}{b}$.

б)

$$\frac{y^2 + 5y}{(y — 5)^2} : \left( \frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{y^2 — 25} — \frac{5}{5 — y} \right)$$

1) Приводим дроби в скобках к общему знаменателю:

Начнем с выражения:

$$\frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{y^2 — 25} — \frac{5}{5 — y}.$$

Обратите внимание, что $5 — y = -(y — 5)$, поэтому:

$$\frac{5}{5 — y} = -\frac{5}{y — 5}.$$

Теперь выражение становится:

$$\frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{y^2 — 25} — \frac{5}{y — 5}.$$

Далее, разложим $y^2 — 25$ как разность квадратов:

$$y^2 — 25 = (y — 5)(y + 5).$$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $(y — 5)(y + 5)$:

$$\frac{5}{y + 5} = \frac{5(y — 5)}{(y + 5)(y — 5)}, \quad \frac{y^2 + 25}{y^2 — 25} = \frac{y^2 + 25}{(y + 5)(y — 5)}, \quad -\frac{5}{y — 5} = -\frac{5(y + 5)}{(y + 5)(y — 5)}.$$

2) Собираем числители:

Теперь можем сложить числители:

$$\frac{5(y — 5) + (y^2 + 25) — 5(y + 5)}{(y + 5)(y — 5)}.$$

Раскроем скобки:

$$5(y — 5) = 5y — 25, \quad 5(y + 5) = 5y + 25.$$

Теперь подставим в числитель:

$$5y — 25 + y^2 + 25 — 5y — 25 = y^2 — 25.$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\frac{y^2 — 25}{(y + 5)(y — 5)}.$$

3) Деление на вторую дробь:

Теперь мы делим на вторую дробь $\frac{y^2 — 25}{(y + 5)(y — 5)}$ и делаем это через умножение на обратную дробь:

$$\frac{y^2 + 5y}{(y — 5)^2} : \frac{y^2 — 25}{(y + 5)^2} = \frac{y^2 + 5y}{(y — 5)^2} \cdot \frac{(y + 5)^2}{y^2 — 25}.$$

4) Упрощаем выражение:

Мы знаем, что $y^2 — 25 = (y — 5)(y + 5)$, так что выражение упрощается до:

$$\frac{y(y + 5)}{(y — 5)^2} \cdot \frac{(y — 5)(y + 5)}{(y + 5)^2}.$$

Теперь сокращаем:

• $(y + 5)$ в числителе и знаменателе,
• $(y — 5)$ в числителе и знаменателе.

И получаем итоговое выражение:

$$\frac{y}{y — 5}.$$

Ответ: $\frac{y}{y — 5}$.