ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Число z задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму:

а) $z = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}$;

б) $z = \cos \frac{10\pi}{3} + i \sin \frac{10\pi}{3}$;

в) $z = \cos \frac{9\pi}{4} + i \sin \frac{9\pi}{4}$;

г) $z = \cos \frac{101\pi}{6} + i \sin \frac{101\pi}{6}$

Очевидно, что модуль всех чисел равен 1, так как: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

Указать стандартную тригонометрическую форму числа $z$:

а) $z = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}$;

$a = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = \frac{7\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$;

Ответ: $z = \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right)$.

б) $z = \cos \frac{10\pi}{3} + i \sin \frac{10\pi}{3}$;

$a = \frac{10\pi}{3} — 4\pi = \frac{10\pi}{3} — \frac{12\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$;

Ответ: $z = \cos \left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right)$.

в) $z = \cos \frac{9\pi}{4} + i \sin \frac{9\pi}{4}$;

$a = \frac{9\pi}{4} — 2\pi = \frac{9\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$;

Ответ: $z = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}$.

г) $z = \cos \frac{101\pi}{6} + i \sin \frac{101\pi}{6}$;

$a = \frac{101\pi}{6} — 16\pi = \frac{101\pi}{6} — \frac{96\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$;

Ответ: $z = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}$.

Ключевая идея:

Любое число вида

$$z = \cos t + i \sin t$$

имеет модуль 1, потому что:

$$|z| = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = \sqrt{1} = 1.$$

Такое представление — это тригонометрическая форма комплексного числа с модулем 1 и аргументом $t$. Но аргумент $t$ может быть не приведён к стандартному виду.

Что такое стандартная форма?

Аргумент должен быть приведён к углу из интервала:

$$(-\pi, \pi] \quad \text{или} \quad [0, 2\pi)$$

(в зависимости от соглашения — здесь будем использовать $(-\pi, \pi]$).

а) $z = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}$

Шаг 1: Проверим, входит ли $\frac{7\pi}{4}$ в стандартный диапазон $(-\pi, \pi]$

$$\frac{7\pi}{4} > \pi \Rightarrow \text{надо привести}$$

Шаг 2: Вычтем полный оборот $2\pi$

$$a = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = \frac{7\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$$

Ответ (а):

$$z = \cos\left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right)$$

б) $z = \cos \frac{10\pi}{3} + i \sin \frac{10\pi}{3}$

Шаг 1: Убедимся, что $\frac{10\pi}{3}$ больше $2\pi$

$$2\pi = \frac{6\pi}{3}, \quad \frac{10\pi}{3} > 2\pi$$

Шаг 2: Приводим к диапазону, вычитая $2\pi$ столько раз, сколько нужно (т.е. $2\pi = \frac{6\pi}{3}$)

$$a = \frac{10\pi}{3} — 4\pi = \frac{10\pi}{3} — \frac{12\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$$

(Выбор 4π сделан, потому что после вычитания 2π получается всё ещё больше π)

Ответ (б):

$$z = \cos\left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin\left( -\frac{2\pi}{3} \right)$$

в) $z = \cos \frac{9\pi}{4} + i \sin \frac{9\pi}{4}$

Шаг 1: Сравним с $2\pi = \frac{8\pi}{4}$

$$\frac{9\pi}{4} > 2\pi$$

Шаг 2: Вычтем $2\pi$

$$a = \frac{9\pi}{4} — 2\pi = \frac{9\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{4} \in (-\pi, \pi] \Rightarrow \text{это стандартная форма}$$

Ответ (в):

$$z = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + i \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)$$

г) $z = \cos \frac{101\pi}{6} + i \sin \frac{101\pi}{6}$

Шаг 1: Приведём к стандартному углу

Найдём, сколько полных оборотов $2\pi$ содержится в $\frac{101\pi}{6}$:

$$2\pi = \frac{12\pi}{6}, \quad \frac{96\pi}{6} = 16\pi \Rightarrow \frac{101\pi}{6} — \frac{96\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$ $$\frac{5\pi}{6} \in (-\pi, \pi] \Rightarrow \text{уже в стандартной форме}$$

Ответ (г):

$$z = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) + i \sin\left( \frac{5\pi}{6} \right)$$

Итоговые ответы:

а) $z = \cos\left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right)$
б) $z = \cos\left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin\left( -\frac{2\pi}{3} \right)$
в) $z = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + i \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)$
г) $z = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) + i \sin\left( \frac{5\pi}{6} \right)$