ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Число z задано в тригонометрической форме. Укажите стандартную тригонометрическую форму:

а) $z=\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}$;

б) $z=\cos (-\frac{13\pi }{6})+i\sin (-\frac{13\pi }{6})$;

в) $z=\cos \frac{99\pi }{4}+i\sin \frac{99\pi }{4}$;

г) $z=\cos (-\frac{103\pi }{6})+i\sin (-\frac{103\pi }{6})$

Очевидно, что модуль всех чисел равен 1, так как: ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$.

Указать стандартную тригонометрическую форму числа $z$:

а) $z=\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}$;

$a=\frac{11\pi }{6}-2\pi =\frac{11\pi }{6}-\frac{12\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$;

Ответ: $z=\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6})$.

б) $z=\cos (-\frac{13\pi }{6})+i\sin (-\frac{13\pi }{6})$;

$a=-\frac{13\pi }{6}+2\pi =-\frac{13\pi }{6}+\frac{12\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$;

Ответ: $z=\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6})$.

в) $z=\cos \frac{99\pi }{4}+i\sin \frac{99\pi }{4}$;

$a=\frac{99\pi }{4}-24\pi =\frac{99\pi }{4}-\frac{96\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$;

Ответ: $z=\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}$.

г) $z=\cos (-\frac{103\pi }{6})+i\sin (-\frac{103\pi }{6})$;

$a=-\frac{103\pi }{6}+18\pi =-\frac{103\pi }{6}+\frac{108\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$;

Ответ: $z=\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}$.

Очевидно, что модуль всех чисел равен 1, так как:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$$

Это означает, что все заданные числа $z$ лежат на единичной окружности в комплексной плоскости, то есть имеют модуль $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$. Поэтому мы можем записывать их в тригонометрической форме:

$$z=\cos a+i\sin a$$

где $a$ — аргумент (угол в радианах).

Наша задача — привести углы всех данных чисел к стандартному виду, то есть такому углу, который лежит в интервале от $-\pi$ до $\pi$ или $[0,2\pi )$ — в зависимости от соглашения, но обычно $(-\pi ,\pi ]$ или $[0,2\pi )$.

а) $z=\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}$

Шаг 1. Угол $\frac{11\pi }{6}$ больше $2\pi$?
Нет, потому что:

$$2\pi =\frac{12\pi }{6}>\frac{11\pi }{6}$$

Значит, он уже в диапазоне $[0,2\pi )$, но мы хотим привести его к виду $(-\pi ,\pi ]$, то есть однократно вычтем $2\pi$, чтобы попасть в нужный диапазон:

$$a=\frac{11\pi }{6}-2\pi =\frac{11\pi }{6}-\frac{12\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$$

Ответ:

$$z=\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6})$$

б) $z=\cos (-\frac{13\pi }{6})+i\sin (-\frac{13\pi }{6})$

Шаг 1. Угол $-\frac{13\pi }{6}$ — слишком мал (меньше $-2\pi$):

$$-2\pi =-\frac{12\pi }{6}>-\frac{13\pi }{6}$$

Значит, нужно прибавить $2\pi$, чтобы привести его ближе к нулю:

$$a=-\frac{13\pi }{6}+2\pi =-\frac{13\pi }{6}+\frac{12\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$$

Ответ:

$$z=\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6})$$

в) $z=\cos \frac{99\pi }{4}+i\sin \frac{99\pi }{4}$

Шаг 1. Определим, сколько раз в этом угле содержится $2\pi$:

Значит, мы можем вычесть $24\pi$ (это $12\cdot 2\pi$):

$$a=\frac{99\pi }{4}-24\pi =\frac{99\pi }{4}-\frac{96\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$$

Проверка диапазона:

$$0<\frac{3\pi }{4}<2\pi$$

Значит, угол находится в стандартном интервале.

Ответ:

$$z=\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}$$

г) $z=\cos (-\frac{103\pi }{6})+i\sin (-\frac{103\pi }{6})$

Шаг 1. Угол слишком мал (сильно меньше нуля), нужно прибавить целое число раз по $2\pi$ так, чтобы результат оказался в пределах стандартного диапазона. Найдём, сколько раз в этом угле содержится $2\pi =\frac{12\pi }{6}$:

(То есть мы прибавили $3\cdot 2\pi =6\pi =\frac{108\pi }{6}$)

Проверка:

$$0<\frac{5\pi }{6}<2\pi \Rightarrow \text{Угол стандартный}$$

Ответ:

$$z=\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}$$

Итоговые ответы:

а) $z=\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6})$

б) $z=\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6})$

в) $z=\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}$

г) $z=\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}$