ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Число z задано в тригонометрической форме. Укажите стандартную тригонометрическую форму:

а) $z = \cos(13{,}2\pi) + i \sin(13{,}2\pi)$;

б) $z = \cos(-12{,}3\pi) + i \sin(-12{,}3\pi)$;

в) $z = \cos(17 \arccos(-1)) + i \sin(17 \arccos(-1))$;

г) $z = \cos(2 \arccos(-0{,}5)) + i \sin(2 \arccos(-0{,}5))$

Очевидно, что модуль всех чисел равен 1, так как: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

Указать стандартную тригонометрическую форму числа $z$:

а) $z = \cos(13{,}2\pi) + i \sin(13{,}2\pi)$;
$a = 13{,}2\pi — 14\pi = -0{,}8\pi$;
Ответ: $z = \cos(-0{,}8\pi) + i \sin(-0{,}8\pi)$.

б) $z = \cos(-12{,}3\pi) + i \sin(-12{,}3\pi)$;
$a = -12{,}3\pi + 12\pi = -0{,}3\pi$;
Ответ: $z = \cos(-0{,}3\pi) + i \sin(-0{,}3\pi)$.

в) $z = \cos(17 \arccos(-1)) + i \sin(17 \arccos(-1))$;
$\beta = 17 \arccos(-1) = 17 (\pi — \arccos 1) = 17 (\pi — 0) = 17\pi$;
$a = 17\pi — 16\pi = \pi$;
Ответ: $z = \cos \pi + i \sin \pi$.

г) $z = \cos(2 \arccos(-0{,}5)) + i \sin(2 \arccos(-0{,}5))$;
$\beta = 2 \arccos(-0{,}5) = 2 \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = \frac{4\pi}{3}$;
$a = \frac{4\pi}{3} — 2\pi = \frac{4\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$;
Ответ: $z = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$.

Модуль любого числа в виде $z = \cos t + i \sin t$ равен 1, поскольку:

$$|z| = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = \sqrt{1} = 1$$

Это следует из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Значит, все такие числа $z$ лежат на единичной окружности в комплексной плоскости.
Наша цель — привести аргумент к стандартному значению, обычно в диапазоне $(-\pi, \pi]$ или $[0, 2\pi)$.

а) $z = \cos(13{,}2\pi) + i \sin(13{,}2\pi)$

Шаг 1. Угол выражен в виде десятичного числа:

$$13{,}2\pi = 13\pi + 0{,}2\pi$$

Шаг 2. Вычтем ближайшее большее целое число $2\pi$, кратное $\pi$, чтобы попасть в интервал $(-\pi, \pi]$.

$$14\pi — 13{,}2\pi = 0{,}8\pi \Rightarrow a = 13{,}2\pi — 14\pi = -0{,}8\pi$$

Проверка диапазона:

$$-\pi < -0{,}8\pi < 0 \Rightarrow \text{стандартный угол}$$

Ответ:

$$z = \cos(-0{,}8\pi) + i \sin(-0{,}8\pi)$$

б) $z = \cos(-12{,}3\pi) + i \sin(-12{,}3\pi)$

Шаг 1. Выразим угол как сумму:

$$-12{,}3\pi = -12\pi — 0{,}3\pi$$

Шаг 2. Прибавим $2\pi \cdot 6 = 12\pi$, чтобы сократить угол:

$$a = -12{,}3\pi + 12\pi = -0{,}3\pi$$

Проверка диапазона:

$$-\pi < -0{,}3\pi < 0 \Rightarrow \text{стандартный угол}$$

Ответ:

$$z = \cos(-0{,}3\pi) + i \sin(-0{,}3\pi)$$

в) $z = \cos(17 \arccos(-1)) + i \sin(17 \arccos(-1))$

Шаг 1. Вычислим значение $\arccos(-1)$.
Это стандартное значение:

$$\arccos(-1) = \pi$$

Шаг 2. Подставим в выражение:

$$\beta = 17 \cdot \pi = 17\pi$$

Шаг 3. Приведём угол к стандартному виду.
Вычтем $2\pi \cdot 8 = 16\pi$:

$$a = 17\pi — 16\pi = \pi$$

Проверка диапазона:

$$\pi \in (-\pi, \pi] \Rightarrow \text{стандартный угол}$$

Ответ:

$$z = \cos \pi + i \sin \pi$$

г) $z = \cos(2 \arccos(-0{,}5)) + i \sin(2 \arccos(-0{,}5))$

Шаг 1. Знаем, что:

$$\arccos(-0{,}5) = \pi — \arccos(0{,}5) = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Шаг 2. Тогда:

$$\beta = 2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Шаг 3. Угол $\frac{4\pi}{3}$ больше $\pi$, вычтем $2\pi$:

$$a = \frac{4\pi}{3} — 2\pi = \frac{4\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$$

Проверка диапазона:

$$-\pi < -\frac{2\pi}{3} < 0 \Rightarrow \text{стандартный угол}$$

Ответ:

$$z = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$$

Итоговые ответы:

а) $z = \cos(-0{,}8\pi) + i \sin(-0{,}8\pi)$
б) $z = \cos(-0{,}3\pi) + i \sin(-0{,}3\pi)$
в) $z = \cos \pi + i \sin \pi$
г) $z = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$