ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, аргумент которых равен:

а) $a=\frac{\pi }{4}$

б) $a = \frac{3\pi}{4}$

в) $a=-\frac{3\pi }{4}$

г) $a = -\frac{3\pi}{4}$

Изобразить на комплексной плоскости множество всех тех чисел, аргумент которых равен:

а) $a = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$:

б) $a = \frac{3\pi}{4}$ или $a = -\frac{\pi}{4}$;
$a = 45 \cdot 3 = 135^\circ$ или $a = -45^\circ$:

в) $a = -\frac{3\pi}{4} = -3 \cdot 45^\circ = -135^\circ$:

г) $a = -\frac{3\pi}{4}$ или $a = \frac{\pi}{4}$;
$a = -3 \cdot 45^\circ = -135^\circ$ или $a = 45^\circ$:

Изобразить на комплексной плоскости множество всех таких комплексных чисел, аргумент которых равен заданному значению.

Что такое аргумент комплексного числа?

Для любого числа $z = x + iy$, его аргумент $\arg z$ — это угол $\theta$, который радиус-вектор образует с положительным направлением оси $\text{Re}$ (действительной оси), при движении против часовой стрелки.
Если $|z| \neq 0$, то можно записать:

$$z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta),\quad \theta = \arg z$$

Геометрически

Множество всех чисел с одним и тем же аргументом — это полупряма, идущая из начала координат в определённом направлении (по углу $\theta$).
Все такие числа можно описать формулой:

$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta), \quad r > 0$$

То есть они лежат на луче от начала координат, под углом $\theta$.

а) $a = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$

Пояснение:

• Угол $\frac{\pi}{4}$ — это 45°, то есть угол между осью $\text{Re}$ и вектором, идущим в первой четверти.
• Координаты вектора при любом $r > 0$:

$$z = r\left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) = r\left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

Геометрическое множество:

• Это полупряма, идущая из точки $0$, под углом $45^\circ$ к действительной оси.
• Все точки лежат в первой четверти, где и действительная, и мнимая части положительные.

Изображение:

б) $a = \frac{3\pi}{4}$ или $a = -\frac{\pi}{4}$

Угол $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$:

• Это угол во второй четверти, от оси Re вверх налево.
• Формула луча:

$$z = r\left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = r\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

Угол $-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$:

• Это угол в четвёртой четверти, от оси Re вниз вправо.
• Формула луча:

$$z = r\left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) = r\left( \frac{1}{\sqrt{2}} — i\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

Геометрическое множество:

• Это две полупрямые, выходящие из начала координат:
  1. Под углом $135^\circ$, вверх влево (вторая четверть);
  2. Под углом $-45^\circ$, вниз вправо (четвёртая четверть).

Изображение:

в) $a = -\frac{3\pi}{4} = -135^\circ$

Пояснение:

• Угол $-135^\circ$ указывает на направление вниз влево, в третьей четверти.
• Формула:

$$z = r\left( \cos\left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin\left( -\frac{3\pi}{4} \right) \right) = r\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} — i\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

Геометрическое множество:

• Полупряма в направлении $-135^\circ$, то есть от начала координат в третью четверть — и Re, и Im отрицательны.

Изображение:

г) $a = -\frac{3\pi}{4}$ или $a = \frac{\pi}{4}$

Пояснение:

Это объединение двух предыдущих случаев:

• $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$ — первая четверть;
• $-\frac{3\pi}{4} = -135^\circ$ — третья четверть.

Геометрическое множество:

• Две луча:
  1. В направлении $45^\circ$ — вправо и вверх;
  2. В направлении $-135^\circ$ — влево и вниз.

Изображение: