ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, аргумент которых равен:

а) $a=\frac{2\pi }{3}$

б) $a=-\frac{\pi }{6}$

в) $a=-\frac{5\pi }{6}$

г) $a=-\frac{2\pi }{3}$

Изобразить на комплексной плоскости множество всех тех чисел, аргумент которых равен:

а) $a=\frac{2\pi }{3}=2\cdot {60}^{\circ }={120}^{\circ }:$

б) $a=-\frac{\pi }{6}\text{ или }a=\frac{5\pi }{6};$
$a=-{30}^{\circ }\text{ или }a=5\cdot {30}^{\circ }={150}^{\circ }:$

в) $a=-\frac{5\pi }{6}=-5\cdot {30}^{\circ }=-{150}^{\circ }:$

г) $a=-\frac{2\pi }{3}\text{ или }a=\frac{\pi }{3};$
$a=-2\cdot {60}^{\circ }=-{120}^{\circ }\text{ или }a={60}^{\circ }:$

На комплексной плоскости любое комплексное число $z$ можно записать в тригонометрической форме:

$$z = r(\cos a + i \sin a)$$

где:

$r = |z|$ — модуль числа, расстояние от начала координат,

$a = \arg(z)$ — аргумент, угол между положительным направлением оси Re и вектором $z$.

Если аргумент фиксирован, а модуль может быть любым положительным числом, то множество таких чисел — прямые лучи из начала координат под заданными углами.

Разбор по пунктам:

а) $a = \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Угол 120° (или $\frac{2\pi}{3}$) — это угол между вектором и положительным направлением оси Re, отсчитывается против часовой стрелки.

На комплексной плоскости это луч, отходящий от начала координат под углом 120°.

Все такие числа $z$ имеют вид:

$$z = r \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = r(\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ),\quad r > 0$$

В координатах:

$$z = r \left(-\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \quad r > 0$$

Это — прямая, идущая под углом 120° против часовой стрелки от начала, без самого начала (начало не включается, т.к. у 0 аргумент не определён).

б) $a = -\frac{\pi}{6}$ или $a = \frac{5\pi}{6}$

или
$a = -30^\circ$ или $a = 150^\circ$

Это два разных луча:

$a = -\frac{\pi}{6} = -30^\circ$ — угол в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке от положительной оси Re.

• Получаем луч под углом 330° (эквивалентно -30°).
• В координатной форме:

$$z = r \left(\cos(-30^\circ) + i\sin(-30^\circ)\right) = r\left(\frac{\sqrt{3}}{2} — i\cdot\frac{1}{2}\right),\quad r > 0$$

$a = \frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ — угол против часовой стрелки, второй квадрант.

$$z = r \left(\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ\right) = r\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\cdot\frac{1}{2}\right),\quad r > 0$$

На рисунке это два луча: один уходит влево-вверх (150°), другой вправо-вниз (330° = -30°).

в) $a = -\frac{5\pi}{6} = -150^\circ$

Отсчёт по часовой стрелке на 150°, то есть:

$$360^\circ — 150^\circ = 210^\circ$$

Луч идёт из начала координат под углом 210° (3-й квадрант).

$$z = r(\cos(-150^\circ) + i\sin(-150^\circ)) = r\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} — i\cdot\frac{1}{2}\right),\quad r > 0$$

Это — луч, уходящий влево-вниз из начала.

г) $a = -\frac{2\pi}{3}$ или $a = \frac{\pi}{3}$

или
$a = -120^\circ$ или $60^\circ$

Два луча:

$a = -120^\circ$ — по часовой стрелке 120°, то есть угол 240°.

• Точка будет в 3-м квадранте (влево-вниз, но не вертикально).

$$z = r\left(\cos(-120^\circ) + i\sin(-120^\circ)\right) = r\left(-\frac{1}{2} — i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad r > 0$$

$a = 60^\circ$

$$z = r\left(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ\right) = r\left(\frac{1}{2} + i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad r > 0$$

Это два луча: один идёт вправо-вверх (60°), другой влево-вниз (240° = -120°).