ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент:

а) Положителен

б) Отрицателен

в) Больше чем $\frac{\pi}{2}$

г) Меньше чем $\frac{\pi}{4}$

Изобразить на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент:

а) Положителен:

$0 < a \leq \pi$;

$0 < a \leq 180^\circ$;

б) Отрицателен:

$-\pi < a < 0$;

$-180^\circ < a < 0$;

в) Больше чем $\frac{\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} < a \leq \pi$;

$90^\circ < a \leq 180^\circ$;

г) Меньше чем $\frac{\pi}{4}$:

$-\pi < a < \frac{\pi}{4}$;

$-180^\circ < a < 45^\circ$;

Изобразить на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел $z$, для которых аргумент (угол между положительной частью оси абсцисс и вектором $\overrightarrow{0z}$) принадлежит указанному промежутку.

Комплексное число:

$$z = x + iy$$

Геометрически представляется точкой $(x, y)$ или вектором от начала координат до этой точки.

Аргумент числа $z$:

$$\arg(z) = \theta, \quad \theta = \arctan\left( \frac{y}{x} \right) \text{ (с учётом четверти)}$$

Измеряется в радианах или градусах.

а) Аргумент положителен:

$$0 < a \leq \pi \quad \text{или} \quad 0 < a \leq 180^\circ$$

Пояснение:

• Угол $\arg(z)$ больше нуля — значит, вектор $\vec{z}$ лежит выше положительной части оси $\text{Ox}$.
• Верхняя полуплоскость (включая ось $\text{Oy}$, кроме положительной оси $\text{Ox}$, которая соответствует $a = 0$).

Геометрически:

• Вся верхняя полуплоскость, исключая положительную часть оси $\text{Ox}$ (т.е. точек вида $x > 0, y = 0$).
• Включается: 1-я и 2-я четверти.
• Граница: включена ось $Oy$, включена отрицательная часть Ox, исключена положительная часть Ox.

б) Аргумент отрицателен:

$$-\pi < a < 0 \quad \text{или} \quad -180^\circ < a < 0$$

Пояснение:

• Аргумент меньше нуля — значит, вектор $\vec{z}$ находится ниже оси $\text{Ox}$, но не на ней.

Геометрически:

• Вся нижняя полуплоскость, исключая ось $\text{Ox}$ (где аргумент = 0 или $\pm \pi$).
• Включается: 3-я и 4-я четверти.
• Не включаются: положительная и отрицательная часть оси $\text{Ox}$.

в) Аргумент больше $\frac{\pi}{2}$:

$$\frac{\pi}{2} < a \leq \pi \quad \text{или} \quad 90^\circ < a \leq 180^\circ$$

Пояснение:

• Это часть 2-й четверти, от вертикали вверх (ось $Oy$, не включается) до отрицательной оси $Ox$ (включается).
• Угол от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, т.е. от вертикали налево вверх.

Геометрически:

• Все точки, образующие угол между $90^\circ$ и $180^\circ$.
• Это внутренность 2-й четверти, включая отрицательную часть оси $Ox$, но исключая ось $Oy$.
• Область лежит между лучами: от $\arg = \frac{\pi}{2}$ (ось $Oy$) до $\arg = \pi$ (отрицательная часть $Ox$).

г) Аргумент меньше $\frac{\pi}{4}$:

$$-\pi < a < \frac{\pi}{4} \quad \text{или} \quad -180^\circ < a < 45^\circ$$

Пояснение:

• Это все углы ниже $45^\circ$, включая всю нижнюю полуплоскость и часть верхней (до 45°).

Геометрически:

• Объединение:
  • Вся нижняя полуплоскость (углы $-180^\circ < a < 0$).
  • Часть верхней полуплоскости, в пределах от $0^\circ$ до $45^\circ$ — т.е. небольшой сектор в 1-й четверти, между положительной осью $Ox$ и лучом с углом $45^\circ$.
• Исключаются:
  • Угол $\arg = \pi$ (т.е. $180^\circ$), так как он больше чем $\frac{\pi}{4}$.
  • Угол $\arg = \frac{\pi}{4}$ не включён (неравенство строгое).
  • Ось $Oy$ полностью исключена (на ней аргумент равен $\pm \frac{\pi}{2}$).